Вычисление площадей плоских фигур. Определенный интеграл от неотрицательной функции на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции

у

+ +

0 a - b

x

Определенный интеграл от неотрицательной функции на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком и отрезками прямых Если график функции расположен ниже оси Ох, т.е. , то интеграл берётся со знаком “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. , то интеграл берётся со знаком “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Нахождение площади криволинейного сектора.

О

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид , где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора находится по формуле:

.