Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

Разделим отрезок интегрирования на четное число отрезков . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями , , . Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

0 х

Уравнения этих парабол имеют вид , где коэффициенты могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(6.1)

Обозначим .

.

Если принять , то (6.2)

Тогда уравнения значений функции (6.1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (6.2) примет вид: .

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

.

Чем больше взять число , тем более точное значение интеграла будет получено.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Пример. С точностью до 0, 001 вычислить интеграл

.

Так как интегрирование производится в окрестности точки , то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции имеет вид:

.

Зная разложение функции легко найти функцию :

.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение:

.

Теперь представим наш интеграл в виде:

.

Применим теорему о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится равномерно на отрезке интегрирования .

Таким образом

Получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Более точное значение этого интеграла: 0, 2482725418…

5.3 Геометрические приложения определённого интеграла