Неопределенный интеграл и методы его вычисления

Для решения задачи нахождения по заданной производной самой функции служит операция интегрирования функций, являющаяся обратной по отношению к операции дифференцирования.

Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство:

. (1.1)

Теорема. Если функция является первообразной для функции на множестве , то совокупность всех первообразных для на этом множестве состоит из функций , где С - произвольная постоянная.

Доказательство. 1) Так как

, (1.2)

то при любом выборе постоянной С функция является первообразной для .

2) Пусть - произвольная первообразная для функции , т.е.

, . (1.3)

Рассмотрим функцию

. (1.4)

Имеем:

на множестве Х. В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функция является постоянной: . Следовательно,

. (1.5)

Неопределенным интегралом от непрерывной функции , заданной на Х, называется множество всех первообразных для функции , определенных на этом множестве Х.

Обозначается: . Читается: «интеграл от икс дэ икс». По определению

, . (1.6)

Обычно фигурные скобки в правой части опускают и записывают (1.6) в виде:

, (1.7)

считая С произвольной постоянной.

Функция называется подынтегральной функцией, а дифференциал

(1.8)

- подынтегральным выражением. Знак называется знаком неопределенного интеграла, а переменная переменной интегрирования.

Из (1.7) непосредственно следует:

, , . (1.9)

Теорема. Справедливы следующие правила интегрирования функций:

(1.10)

, (1.11)

, (1.12)

. (1.13)

Доказательство. Дифференцируя левые и правые части этих равенств с учетом формул (1.9), приходим к одинаковому результату. Действительно,

1)

2) , ;

3) , ;

4) , , ,

.

Правило (1.12) называется правилом «замены переменных», правило (1.13) называется правилом «интегрирования по частям».