Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений

x

Рассмотрим тело с объемом V. Пусть известна площадь любого поперечного сечения тела Q, выражаемая непрерывной функцией . Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки разбиения отрезка . На каждом отрезке разбиения функция непрерывна. Следовательно, принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно и .

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях как на диаметрах построить цилиндры с образующими, параллельными оси , то объемы этих цилиндров будут соответственно равны и , где .

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения наибольшего из отрезков разбиения l, эти суммы стремятся к общему пределу:

Таким образом, объем тела находится по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию , что весьма проблематично для сложных тел.

Пример. Найти объем шара радиуса R.

R y

-R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты этот радиус выражается по формуле .

Функция площадей сечений имеет вид: . Получаем объем шара:

.

Пример. Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

Q S

x H x

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению , где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды: .