Вычисление длины дуги кривой

y

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, находится по формуле .

Тогда длина дуги определяется формулой .

Из геометрических соображений имеем .

С другой стороны .

Тогда можно показать, что

.

т.е. .

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

,

где и .

Если задана пространственная кривая, и , и , то

.

Если кривая задана в полярных координатах, то

, .

Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением .

1 способ. Выразим из уравнения переменную у: .

Найдем производную .

Тогда .

Находим . Получили известную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: , т.е. функция , . Тогда

.