Пример. , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

,

т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

5. Интегрирование по частям определённого интеграла

Если функции и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше.