Способы интегрирования некоторых других классов функций

Интегралы вида

, (4.1)

где - многочлен, берутся по частям, причем за u берется . Интегрировать по частям нужно столько раз, какова степень многочлена .

Пример. ;

.

Интеграл вида

, (4.2)

где - многочлен, берется по частям. При этом за берется .

Пример. ;

.

Вычисляем ;

.

Следовательно,

.

Пусть - рациональная функция переменных х и у. Интегралы вида

(4.3)

сводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой

. (4.4)

Действительно, из (4.4) находим:

. 4.5)

Пример. .

Обозначим , . Следовательно,

=

= =

.

Выражение

, (4.6)

где - рациональные числа, называется биномиальным дифференциалом. Их интегрирование сводится к интегрированию дробно-рациональных функций только в трех случаях:

1) - целое, подстановка , где - общий знаменатель дробей m и n;

2) - целое, подстановка , где - знаменатель числа р;

3) - целое, подстановка .

Выдающийся русский математик П.Л. Чебышёв доказал, что только в этих трех случаях интегралы от биномиальных дифференциалов (4.6) выражаются через элементарные функции.

Примеры. №1. .Здесь , т.е. имеем 1^ый случай (р - целое). Положим: ,

.

Следовательно,

.

№2. .

Здесь , т.е. - целое. Имеем 2^ой случай. Полагаем . Следовательно,

№3. .

Здесь . Имеем 3^й случай. Положим , , . Следовательно,

.

Имеем:

,

т.е.

, , , ®

® , , , .

.

Интегралы вида

, (4.7)

сводятся к интегралам от дробно-рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:

1) = , если ; (4.8)

2) = , если ; (4.9)

3) = или = , (4.10)

если , а - корни квадратного трехчлена.

Примеры. №1. .(, 1^ая или 2^ая подстановки). Положим ® , , . Имеем

;

.

Следовательно, .

.

№2. .(, 2^я или 3^я подстановки). Положим ® , , . Следовательно,

= .

№3. .(, 2^я или 3^я подстановки). Положим , , , , . Следовательно,

= .

Имеем:

;

т.е. , , , .

Следовательно, , . Значит,

=

.

Интегралы вида

, (4.11)

где - рациональная функция двух переменных, сводятся к интегрированию дробно-рациональных функций универсальной подстановкой

. (4.12)

Действительно,

. (4.13)

Пример. . Положим: . Имеем:

= .

7. Интегралы вида

, (4.14)

где - рациональная функция, удобнее брать с помощью подстановки:

. (4.15)

Пример.

.

Интегралы вида

, (4.16)

где , т.е. рациональные числа, подстановкой

(4.17)

приводятся к интегралам от биномиальных дифференциалов. Действительно,

= .

На основании критерия Чебышева этот интеграл выражается через элементарные функции лишь в трех случаях, когда одно из чисел:

, , (4.18)

является целым числом. В частности, если оба числа и - целые, то это условие выполняется, т.к. если одно (или два) из этих чисел - нечетные, то целым будет или , или все три. Если же p и q - четные числа, то число - целое.

Интегралы вида

, (4.19)

где - многочлен степени , берутся по частям. Полагают:

, , (4.20)

или

, . (4.21)

Пример. .

Положим: , ® .

Следовательно,

=

.

Аналогичным способом берутся интегралы вида

, (4.22)

где - рациональная функция.

В заключение заметим, что рассмотренные способы интегрирования далеко не исчерпывают все многообразие приемов интегрирования. Из изложенного следует, насколько операция интегрирования сложнее операции дифференцирования. Если продифференцировать можно любую элементарную функцию, то обратная операция - интегрирование даже в принципе иногда не разрешима в элементарных функциях. Такие интегралы называются интегралами не выражающимися в квадратурах. К их числу, например, относятся интегралы:

(4.23)

5.2 Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

1. Интегральная сумма Римана. Понятие определённого интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция .

y

M

m

0 a b x

Обозначим через m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

Разобьем отрезок на части (не обязательно одинаковые) n точками:

.

Введём обознаячения … На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции:

, , … .

Составим суммы:

=

= .

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой, соответствующей данному разбиению отрезка. Так как то , а .

Внутри каждого отрезка выберем по точке

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции на отрезке

,

соответствующей данному разбиению отрезка на части и данному выбору в этих частях промежуточных точек. Тогда

.

Следовательно,

.

Обозначим через – наибольший отрезок разбиения. Если , то число отрезков разбиения отрезка стремится к бесконечности.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от разбиения отрезка на части ни от выбора в этих частях промежуточных точек, то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку , а функция называется интегрируемой по Риману на отрезке .

По определению:

Обозначение:

Число называется нижним пределом интегрирования, а число верхним пределом интегрирования; называется переменной интегрирования; – отрезок интегрирования.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

2. Свойства определенного интеграла

1)

2)

3)

4) Если на отрезке , то .

5) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то:

.

6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка e такая, что

.

Доказательство. В соответствии со свойством 5:

,

так как функция непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке все свои промежуточные значения до М. Другими словами, существует такое число , что если и , а , тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел справедливо равенство:

,

при условии существования каждого из входящих в него интегралов.

8)

Обобщенная теорема о среднем. Если функции и непрерывны на отрезке , и функция знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что

.