Необходимые и достаточные условия сходимости числовых рядов

Теорема. (Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось неравенство:

.

Доказательство. (необходимость) Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство выполняется при . При и любом целом выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n> N и любом p> 0 выполнялось бы неравенство

.

Однако на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно, поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости.

Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член u_n стремился к нулю при стремящемся к .

Это условие не является достаточным. Однако, если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

Теорема. Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена.

Это условие не является достаточным.

Например, ряд расходится, т.к. расходится последовательность его частичных сумм в силу того, что

Однако при этом последовательность частичных сумм ограничена, т.к. при любом n.