Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема. (Непрерывность суммы ряда) Если члены ряда - непрерывные на отрезке функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма является непрерывной функцией на отрезке .

Теорема. (О почленном интегрировании ряда) Равномерно сходящийся на отрезке ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

Теорема. (О почленном дифференцировании ряда) Если члены ряда сходящегося на отрезке представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.