Разложение функций в степенные ряды

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Существует способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

1 1 - x

1 – x 1 + x + x² + x³ + …

x

x – x²

x²

x² – x³

x³

……….

Если применить к той же функции формулу Маклорена:

,

то получаем:

……………………………….

Таким образом:

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Пример. Разложить в ряд функцию

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Получаем:

Окончательно:

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

1 1 + x²

1 + x² 1 – x² + x⁴- …

- x²

- x² – x⁴

x⁴

x⁴ + x⁶

………….

Тогда

Окончательно получаем: