Знакопеременные ряды

Определение. Знакопеременным рядом называется ряд с членами произвольных знаков.

Рассмотрим знакопеременный ряд:

(6.1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (6.1):

. (6.2)

Теорема. Из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1).

Доказательство. Ряд (6.2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого существует число N, такое, что при и любом целом верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1).

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Теорема. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного числа (включая или ) члены ряда можно переставить таким образом, чтобы его сумма была равна этому числу ( или ).

Пусть - знакопеременный ряд.

Теорема. (Признак Даламбера) Если существует предел , то при ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится. При признак ответа не дает.

Теорема. (Признак Коши) Если существует предел , то при ряд сходится абсолютно, а при расходится. При признак ответа не дает.