Теоретична частина. Для деяких неперервних підінтегральних функцій f(х) первісну не можна виразити елементарними функціями

Для деяких неперервних підінтегральних функцій f(х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла. Найбільш часто використовують три методи — метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

· Якщо відрізок інтегрування [а, b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за формулою (1)

· яку називають формулоюпрямокутників.

Чим більше буде n, тим менше буде крок і права частина (1) буде давати більш точне значення інтеграла.

· Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

а = х0 < x1 < х2 <... < хk <... < хn-1 < хk = b

на n рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(2),

яку називають формулою трапецій.

Легко бачити, що при зростанні n крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

· Якщо відрізок інтегрування [а, b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + х·k — точки ділення, k = 0, 1,..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(3)

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

Методичні вказівки до самостійної роботи №8

Тема: Диференціальні рівняння

Мета: Навчитися розв’язувати рівняння різних видів з відокремлюваними змінними

Завдання: вказати вид рівняння, його порядок і метод рішення, у випадку (а) здійснити перевірку

a) Дано диференціальне рівняння І порядку із розподільними змінними:

Шукана функція

Переходимо до диференціалів:

Розподіляємо змінні:

Інтегруємо

,

Пропотенціювавши за основою е маємо:

Перевірка:

Відповідь

б)Дано диференціальне рівняння ІІ порядку зі сталими коефіціентами

Складаємо характеристичне рівняння:

Знаходимо його корені:

Оскільки корені дійсні та різні, то загальний розв’язок має вигляд

в) Дано диференціальне рівняння ІІ порядку, яке розв’язується методом зниження порядку відповідними замінами:

Заміна:

або

Інтегруємо або

або

або

– загальний розв’язок