Тема: Теореми додавання і множення ймовірностей

Мета: Навчитися обчислювати надійність електричних ланцюгів, використовуючи теореми додавання та множення ймовірностей

Завдання 1. Проаналізувати надійність схеми А та В за час t, якщо елементи А, В вийдуть з ладу незалежно один від одного. Ймовірність безвідмовної роботи елементів (і=1, 2, 3) за час t зведено в таблицю

	0, 29	0, 172	0, 15	0, 02

	0, 710	0, 828	0, 85	0, 98

Розв’язання

Дана схема є комбінованою: елементи і з’єднані послідовно між собою, елемент з’єднано паралельно з і , елемент з’єднано послідовно з паралельним.

Введемо позначення:

Нехай подія В - безвідмовна робота всієї схеми;

подія - безвідмовна робота ділянки послідовного з’єднання елементів і ;

подія - безвідмовна робота паралельного з’єднання елементів , та елемента .

Тоді, враховуючи властивості паралельного та послідовного з’єднання елементів, одержимо:

(*)

Визначимо надійність кожної із ділянок схеми.

а) Розглянемо ділянку послідовного з’єднання елементів і .Вона працюватиме безвідмовно, якщо будуть справні обидва елементи, тобто подія .

За теоремою множення незалежних подій, маємо:

б) Розглянемо ділянку паралельного з’єднання елементів , та елемента Виходячи з властивостей паралельного з’єднання, получаємо:

подія

Отже, враховуючи теореми додавання та множення незалежних подій, одержуємо:

, де - властивість ймовірностей протилежних подій, звідки . Тоді отримуємо:

в) Остаточно знаходимо ймовірність безвідмовної роботи всієї схеми за формулою (*)

Відповідь: Надійність схеми А складає 82, 8%.

Схема В

Розв’язання

Дана схема є комбінованою: елементи , та з’єднано паралельно, елемент з’єднано послідовно з паралельним.

Паралельне з’єднання елементів не буде працювати, лише коли всі елементи вийдуть з ладу.

Введемо позначення:

Нехай подія В - безвідмовна робота всієї схеми;

подія D – безвідмовна робота ділянки паралельного з’єднання елементів , та .

Тоді матимемо:

За теоремами додавання та множення незалежних подій:

*** Ймовірність події D можна обчислити більш зручним способом , де

Подія - вихід з ладу паралельного з’єднання елементів , та , тобто , тоді

, отже

Остаточно обчислюємо ймовірність безвідмовної роботи схеми В:

Відповідь: Надійність роботи схеми В складає 97, 2%.

Методичні рекомендації до самостійної роботи №11

Тема: Обчислення числових характеристик випадкових величин.

Мета: Навчитися складати закони розподілу випадкових величин та розраховувати їх характеристик.

Варіант *

Задача 1 Тривалими спостереженнями, що серед деталей виготовлених робітників за зміну, може бути щонайбільше 2 бракованих. При цьому із кожних 100 змін у 95 випадкових браку немає, в чотирьох випадках – 1 бракована деталь, лише 2 браковані деталі. Складіть закон розподілу випадкової величини. Х – кількість бракованих деталей, виготовлених робітником за зміну.

Розв’язання

За умовою Х- кількість бракованих деталей, виготовлених робітником за з міну.

Х - кількість бракованих деталей, Хі ≤ 2. Очевидно, що і= 1, 2

Х1 = 0 - бракованих деталей немає

Х2 = 1 - одна бракована деталь

Х3 = 2 - дві браковані деталі

Знайдемо ймовірність за класичним означенням:

, де n =100 змін, відповідно m1=95 випадків браку немає

m2 = 4 випадків – 1 бракована деталь.

m3 = 1 випадків – 2 браковані деталі.

Отже маємо що:

Остаточно отримаємо закон розподілу кількості бракованих деталей, виготовлених робітникам за зміну.

Перевірка: ;

Отже закон розподілу складено вірно.

Задача 2 Технічна система має два прилади підвищеної надійності, в кожному з яких є чотири однорідні деталі, що дублюють роботу одна одної. Закон розподілу кількості деталей, що виходять з ладу за кожні 1000 год. – роботи системи, для цих мають відповідно вигляд.

Якщо Х1 (і=1, 2)

Розв’язання

А) Знайдемо середню кількість деталей, що виходять з ладу за кожні 1000 годин роботи, відповідно для кожного приладу. Використаємо формулу математичного сподівання

МХ=х1р1+ х2р2+ …+хnрn –середнє значення X, МУ- знаходимо аналогічно.
а) (деталей);
(деталей).

Порівнюємо середні показники:

Отже перший прилад надійніший

Б) Мх = 0, 39; Му = 0, 43.
М(1500х) = 1500Мх = 585
М(1500у) = 1500Му = 645

Задача 3 Випадкові величини X і Y незалежні і мають відповідно закони розподілу:

Знайти: а) М(Х*Y); б) D(2X+5Y); В) закон розподілу випадкової величини X+Y

Розв’язання:

а) Використовуємо властивості математичного сподівання:

б) За означенням дисперсія обчислюється за формулою:

P	0.5	0.2	0.3

	0, 64	0, 04	1, 44
p	0.5	0.2	0.3

в) Складемо розрахункову таблицю X+Y

За допомогою таблиці отримуємо шуканий закон розподілу X+Y

Зробимо перевірку: