Лабораторная работа №1. Генерация случайных чисел, имитирующих погрешность измерений.

Генерация случайных чисел, имитирующих погрешность измерений.

Цель работы: освоение методов генерации случайных чисел, подчиняющихся нормальному распределению с заданным математическим ожиданием и дисперсией. Работа выполняется с использованием алгоритмических языков высокого уровня (" Паскаль", " Си++"). На работу отводится 4 часа.

Наблюдением называется регистрация различных фактов искусственного или естественного происхождения. Наблюдения подразделяются на количественные и качественные. Количественные наблюдения разделяются на измерения и подсчет.

Измерения — средства регистрации физических явлений и величин непрерывного типа. В отличие от подсчета измерение состоит в сравнении измеряемой величины с эталоном [1]. Измерения делятся на прямые и косвенные. При прямых измерениях непосредственно измеряется интересующая нас величина Q. При косвенных—некоторая функция интересующих нас величин F(Q₁, Q₂,..., Q_n).

Из-за различных неточностей процесса измерений результат измерений отличается в общем случае от искомого точного значения. Отклонение отдельных измеренных значений от математического ожидания, которое можно трактовать как предел среднего значения при стремлении числа измерений n к бесконечности (если соблюдены одинаковые условия их проведения) называются случайными погрешностями измерений. Погрешности, появляющиеся из-за постоянно воздействующих факторов, представляют собой систематические погрешности [2]. Уменьшить влияние случайных погрешностей можно, увеличивая число измерений. Чтобы учесть систематические погрешности, нужно свести их к случайным: использовать другой прибор, метод измерения и т.д. В таком случае при обработке результатов измерений можно воспользоваться статистическими методами.

Так как погрешности измерений обусловлены, как правило, действием множества случайных факторов, то в силу центральной предельной теоремы [3], закон их распределения стремится к нормальному. Плотность распределения случайной величины, подчиняющейся нормальному закону,

имеет вид:

где m — математическое ожидание случайной величины х: М[х]=m;

s² — дисперсия случайной величины х: D{x]= s²

При отсутствии систематической погрешности математическое ожидание погрешности измерений равно нулю. Для генерации нормально распределенных случайных чисел, имеющих математическое ожидание rn[x] и дисперсию s²[х], можно воспользоваться следующим выражением [4]:

где х _k — случайные числа с одинаковыми математическими ожиданиями- m_x и дисперсиями s²

Случайные величины X, равномерно распределенные в интервале [0, 1], можно получить с помощью встроенных функций (в среде " Турбо-Паскаль" —процедура Random).

Поскольку m_x=0.5, D[x]= , то для генерации нормально распределенных случайных чисел Yi с

нулевым математическим ожиданием (m_x=0) и единичной дисперсией (D[x]=1) можно использовать следующее выражение

Нормально распределенное число с математическим ожиданием m_x и дисперсией D[x]= получается по формуле