Лабораторная работа №5. Цель работы: ознакомление с методами получения интервальных оценок; приобретение навыков работы со статистическими таблицами.

Интервальные оценки.

Цель работы: ознакомление с методами получения интервальных оценок; приобретение навыков работы со статистическими таблицами.

Работа выполняется с использованием алгоритмических языков высокого уровня, таблиц математической статистики и ППП " STATISTICA".

На работу отводится 6 часов.

Так как точечные оценки, получаемые по результатам измерений, являются функциями от членов выборки — случайных величин, то они сами являются величинами случайными, а, следовательно, имеют разброс около своего " истинного" значения. Таким образом, оценка параметра лежит между верхней и нижней границей некоторого интервала, называемого доверительным интервалом. Верхняя и нижние границы доверительного интервала называются доверительными пределами, а степень достоверности попадания оценки в этот интервал называется доверительной вероятностью.

Величина доверительного интервала, зависящая от уровня значимости, позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что этот интервал содержит параметр

генеральной совокупности.

Уровень значимости a определяет вероятность непопадания параметра в заданный интервал и выбирается достаточно малым (например, при a=0, 05 вероятность ошибки, то есть непопадания параметра в заданный интервал, не превышает 5%).

Общая процедура получения интервальной оценки такова:

1. Некоторое вероятностное утверждение записывается в математических символах, содержащих рассматриваемый параметр.

4. Аргумент преобразуется так, чтобы параметр ансамбля был заключен между статистиками, которые можно вычислить по выборке. Если случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m_x, то статистика

-СКО выборочного среднего,

подчиняется t-распределению (распределение Стьюдента). Отсюда следует, что вероятность того, что вычисленная t-статистика не превысит некоторого числа t_y, равна

Доверительный интepвaл для диспepcии по aнcaмблю случайной величины X можно получить

с доверительной вероятностью 1-a.

Задание на лабораторную работу №5.

1. В соответствии с методикой, изложенной в работе №1, сгенерируйте 20 чисел, подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

2. Считая полученный ряд чисел погрешностями измерений (или “шумами измерительной системы”), наложите их на измеряемый параметр А, заданный для каждого из вариантов в работе №3.

3. Получите интервальные оценки математического ожидания m_А и дисперсии оценки , пользуясь выражениями 6) и 10) и таблицами математической статистики. Уровень значимости a принять равным 0, 05.

4. Импортируйте сгенерированные ряды “псевдоизмерений” в ППП “STATISTICA” и сравните граничные значения полученных доверительных интервалов со значениями, вычисляемыми в ППП.

Методика выполнения работы.

Выполнение пунктов 1 и 2 не требует дополнительных пояснений. При выполнении пункта 3 следует вычислить среднее значение и выборочную дисперсию .

Пусть при этом получены следующие значения:

;

Находим

По таблицам t-распределения [7, 8] находим для 95%-ной доверительной вероятности

Симметричный доверительный материал для m_x определится равенством (6).

9, 1-2, 093× 0, 2£ m_x< 9, 1+2, 093× 0, 2

8, 68£ m_x< 9, 52

Доверительный интервал для получается из выражения (10). Значения -распределения находим по таблицам [5, 7] при

Требования к оформлению отчета.

Отчет должен содержать:

1. название работы;

2. цель работы;

3. задание на работу;

4. листинг программы;

5. файл псевдоизмерений;

6. доверительные интервалы для m_х и ;

7. инструкцию по работе с программой;

8. выводы.

Вопросы для самопроверки.

1. В чем состоит отличие интервальных и точечных оценок?

2. Что называется доверительным интервалом?

3. Что такое доверительная вероятность и как она связана с уровнем значимости?

4. Как определяется число степеней свободы в t-распределении и c² распределении?

5. Каким образом границы доверительных интервалов связаны с дисперсией случайной величины?