Задание на лабораторную работу №3

1. Сгенерировать выборку " псевдоизмерений" некоторой физической величины А (значения заданы в таблице 3.1 —для каждого из вариантов), наложив на ее значение " погрешности измерений". Параметры погрешностей и число измерений заданы в работе №1 (значение систематической погрешности m считать равным нулю для всех вариантов).

2. Получить МНК-оценки математического ожидания и дисперсии по схеме возрастающей выборки, считая минимальный объем выборки n₁ равным 10. Максимальный объем n задан в работе №1. Полученные оценки вывести на экран.

3. Файлы с оценками математического ожидания и дисперсиями импортировать в формат ППП " STATISTICA" и представить их в виде графика с помощью графических средств ППП.

4. Проделать пункты 1, 2, 3, накладывая на значения измеряемой величины погрешности, подчиняющиеся равномерному закону. При этом считать математическое ожидание погрешности равным нулю. Интервал [а, b] полагать равным [-Зd, +Зd], где d — среднеквадратичное отклонение, заданное для нормального закона. Сравнить полученные оценки с оценками, полученными для нормально распределенных погрешностей.

5. Программа генерации выборки из e-загрязненного распределения, должна быть оформлена в виде модуля, для использования ее в лабораторной работе №4.

Варианты задания.

Таблица 3.1

Методика выполнения работы.

Специальных указаний для выполнения работы не требуется.

Требования к оформлению отчета.

Отчет должен содержать:

1. название работы;

2. цель работы;

3. задание на работу;

4. сгенерированные ряды " псевдоизмерений";

5. МНК-оценки параметров сдвига и масштаба, полученные по схеме возрастающей выборки от n₁ до n;

6. инструкцию по работе с программой;

7. листинг программы;

8. выводы.

Вопросы для самопроверки.

1. Что означают параметры сдвига и масштаба плотности распределения? Почему они так называются?

2. В чем заключается принцип максимума правдоподобия?

3. В каких случаях МНК-оценки совпадают с оценками максимального правдоподобия?

4. Почему погрешности измерений можно считать в большинстве своем распределенными по нормальному закону?

5. Можно ли полученные результаты применять для обработки зависимых измерений?

Лабораторная работа №4.

Помехоустойчивые оценки.

Цель работы: освоение методов помехоустойчивого оценивания.

Работа выполняется с использованием алгоритмических языков и ППП " STATISTICA"

На работу отводится 8 часов.

МНК-оценки совпадают с оценками, полученными по методу максимального правдоподобия, и являются эффективными, если погрешности наблюдений подчиняются нормальному распределению и не содержат выбросов. Такая модель погрешностей не соответствует действительности. На практике ряды наблюдений содержат от 1 до 10 процентов " аномальных" измерений, т.е. выбросов. Поскольку выбросы существенно превосходят по абсолютному значению нормальные наблюдения, МНК-оценки параметров могут значительно отличаться от их " истинного" значения. Простейшим приемом для устранения влияния выбросов является визуальный просмотр данных, представленных в виде таблиц или графиков, и удаления очевидных " аномальных" данных. Такая операция называется " предварительным редактированием" данных и, как правило, дает хороший результат.

Редактирование не всегда возможно, например, при большом количестве числа наблюдений или в автоматических системах. Поэтому был разработан класс оценок, устойчивых по отношению к выбросам. Простейшей из таких оценок является медиана выборки, которая применяется при оценивании параметра сдвига, или математического ожидания случайной величины. Медианой называется значение случайной величины х, при котором функция

распределения . Если выборку упорядочить по возрастанию, то медиана будет равна значению серединного элемента выборки. Медиана совпадает с максимально правдоподобной оценкой, если плотность вероятности случайной величины подчиняется распределению Лапласа [1].

В этом случае логарифмическая функция правдоподобия имеет вид

Решение уравнения (2) дает медиану выборки. Так как при этом параметр Q минимизирует сумму модулей, то медиана является оценкой, полученной методом наименьших модулей. Помехоустойчивость медианы по отношению к выбросам очевидна, поскольку последние сосредоточены на краях выборки и не могут существенно повлиять на оценку математического ожидания. В то же время эффективность оценок наименьших модулей в отсутствии выбросов хуже, чем у МНК-оценок, так как в качестве оценки математического ожидания берется результат только одного измерения — медиана, и никакого усреднения погрешностей не происходит. Робастные оценки (от английского robust—крепкий, здоровый), являясь помехоустойчивыми, в то же время не слишком проигрывают в эффективности МНК-оценкам, если погрешности измерений подчиняются нормальному распределению и не содержат выбросов. К таким оценкам относятся оценки математического ожидания (a - усеченные оценки и a - винзорированных средние) и S-оценка параметра масштаба.

a-усеченное среднее С_t(a, n) равно

где a —доля отброшенных измерений;

n — объем выборки;

[an] — операция выделения целой части числа an.

a-винзорированное среднее вычисляется по формуле

Таким образом, a-усеченное среднее находится как среднее значение упорядоченной по возрастанию выборки, в которой отброшены 100%-а крайних точек " снизу" и столько же " сверху" выборки.

При нахождении винзорированных средних крайние точки не отбрасываются, а " проектируются" в ближайшие точки оставшейся выборки, то есть все 100%× a, точек полагаются равными ближайшей не отброшенной точке.

S-оценка параметра масштаба равна

где medx_i — оператор нахождения медианы. Оценка (5) находится следующим образом:

1) находится медиана выборки medx_i;

2) находятся модули отклонения членов выборки от медианы |x_i-medxl;

3) находится медиана ряда, полученного в пункте 2);

4) результат делится на нормирующий множитель 0, 6745.

Необходимость деления на нормирующий множитель вызвана тем, чтобы при нормальном распределении погрешностей S-оценка совпадала с оценкой среднего квадратического отклонения (СКО).

Задание на лабораторную работу №4.

1. Сгенерировать выборку из сорока " псевдоизмерений", накладывая на значения измеряемого параметра (параметр масштаба) А, заданного в работе №3, погрешности измерений, подчиняющиеся e-загрязненному распределению. Параметры e-загрязненного распределения и методика его генерации рассмотрены в работе №3.

2. Получить оценки математического ожидания:

— МНК-оценку;

— медиану;

— a-усеченную оценку;

— a-винзорированное среднее;

— среднее значение " отредактированной выборки";

a - усеченные и a - винзорированные оценки требуется найти для трех значений a: a₁, a₂, a₃.

Значение a₁ в процентах равно числу e, заданному в лабораторной работе №3. При этом количество отброшенных точек (снизу и сверху):

a₁=[40× e/100];

a₂=a₁-1;

a₃=a₁+1;

Сравнить полученные оценки математического ожидания с " истинным" значением параметра А.

3. Найти оценки параметра масштаба:

— МНК-оценку;

—устойчивую оценку.

МНК-оценка ищется для исходной и отредактированной выборки. Устойчивая оценка S ищется по полной выборке.

Сравнить полученные оценки с " истинным" значением параметра масштаба, заданным в работе №1 (параметр d).

4. Исходную выборку " импортировать" в ППП " STATISTICA". Используя графические средства пакета рассмотреть гистограмму выборки и график накопленных частот распределения в логарифмическом масштабе. Сравнить полученные графики с графиками, полученными для нормального распределения.

5. Сравнить полученные оценки параметров сдвига (математическое ожидание) и масштаба с базовыми статистиками, получаемыми в ППП.

Методика выполнения работы.

1. Методика генерации погрешностей измерений, подчиняющихся нормальному и e-загрязненному распределениям, изложена в лабораторных работах №1 и №2.

2. Упорядочение выборки " псевдоизмерений" может быть выполнено известными способами сортировки данных (сортировка с простым выбором, " пузырьковая" сортировка, " быстрая" сортировка и т.д.).

3. Медиана при четном числе членов выборки получается как среднее арифметическое двух " серединных членов". Так, при n=40 медиана будет равна

где y—члены упорядоченной выборки.

4. Количество отброшенных членов a₁ с обоих концов упорядоченной выборки определяется следующим образом (при заданном e):

— находится доля выбросов e/100;

— находится число a₁=

— число a₁ округляется до ближайшего целого числа.

5. Работа с ППП " STATISTICA" достаточно проста и не требует специальных пояснений (достаточно обратиться к пояснениям с помощью программы " HELP")

Требования к оформлению отчета.

Отчет должен содержать:

1. название работы;

2. цель работы;

3. задание на работу;

4. файлы " псевдоизмерений":

5. полученные оценки (устойчивые и МНК-оценки);

6. инструкцию по работе с программой;

7. листинг программы;

8. выводы.

Вопросы для самопроверки.

1. В каком случае МНК-оценки совпадают с оценками максимального правдоподобия [МП]?

2. В чем заключается редактирование выборки?

3. В каком случае медиана выборки совпадает с оценкой математического ожидания, полученной методом МП?

4. Назовите основные свойства робастных оценок.

5. Что такое a-усеченные оценки и как они вычисляются?

6. В чем заключается процедура " проектирования" крайних членов выборки при вычислении винзорированных оценок?