Дифференцирование сложной ФНП. Производные неявных функций.

Функции нескольких переменных. Предел последовательности. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность ФНП.

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности стремятся или приближаются с ростом номера.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела только по одной из переменных. Из этого возникает понятие повторного предела. В зависимости от последовательности взятия пределов будут различные повторные пределы.

Число А называется пределом функции F(M), где M(x1, x2, x3,..., xn)-точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10, x20,..., xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого e> 0 существует такое число d> 0 (d-эпсилон), что из условия |MM0|< d, где |MM0|-расстояние между точками М и М0, следует |F(x1, x2,..xn)-A|< d.

Частное и полное приращения функции нескольких переменных. Частные производные и частные дифференциалы.

Пусть задана функция z = f(х, у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆ х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим

∆ х z: ∆ х z = f(x + ∆ x, y) – f(х, у).

Наконец, если аргументу х дать приращение ∆ х, а аргументу у – приращение ∆ у, то получим полное приращение функции z:

∆ z=f(x+∆ x, y+∆ у)–f(х, у).

Частная производная-производная по одной из переменных в функции нескольких переменных, только в ней все остальные переменные принимаются за константы, а потом находится производная. С дифференциалом то же самое, но только находится интеграл.

Дифференцируемость функции. Полный дифференциал.

Дифференци́ руемая (в точке) фу́ нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения переменных, называется полным дифференциалом. dZ или df(x, y, z...)

Дифференцирование сложной ФНП. Производные неявных функций.

Теорема.Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t) и у = у(t) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D. Пусть функция u дифференцируема в точке M0(x0, y0, z0), а функции х(t) и у(t) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

.

Доказательство.Так как u дифференцируема по условию в точке (x0, y0), то её полное приращение представляется в виде

.

Разделив это соотношение на , получим:

.

Перейдём к пределу при и получим формулу

.

Замечание 1.Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х

или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(x, y) = 0, где y = y(x) (см. тему № 3 и пример 14).

Имеем: . Отсюда . (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

;

;

.

Как видим, ответы совпали.

Задание. Найти вторую производную неявной функции .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:

Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную :

Ответ.