Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.
,
тогда при :
1) имеет максимум, если дискриминант и , где ;
2) имеет минимум, если дискриминант и ;
3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ;
4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка — точка экстремума функции , то она критическая.

Доказательство

По условию точка — точка экстремума функции по теореме Ферма производная точка является критической.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки и непрерывна в этой точке. Тогда:

Если производная меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку : и , то — точка строго минимума функции

Если производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку : и , то — точка строго максимума функции