Властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції і неперервні у точці то у цій точці будуть неперервними функції ; в останньому випадку за умови, що

Теорема 2. Якщо функція — неперервна для а функція — неперервна для і значення функції то складна функція — неперервна для

Приклад. Дослідити функції на неперервність.

Оскільки то функцію можна вважати суперпозицією таких неперервних функцій: Отже, за теоремою 2 функція — неперервна

Тепер за теоремою 1 неважко встановити, що функція — неперервна а функція — неперервна як відношення неперервних функцій

Зауваження. Можна довести, що всі основні елементарні функції будуть неперервними в кожному з відкритих проміжків своєї області визначення.

Теорема 3 (Коші). Якщо функція неперервна на закритому проміжку і на кінцях проміжку набуває значення різних знаків (наприклад ), тоді на відкритому проміжку існує така точка х = с, що (рис. 2).

Рис. 2

Наслідок. Якщо функція неперервна на і то на набуває всіх проміжних значень між числами А і В.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на закритому проміжку , то вона набуває на цьому проміжку своїх найбільших й найменших значень. (рис. 3).

Рис. 3