Физические приложения криволинейного интеграла первого рода.

1) Масса материальной линии. Пусть материальная (например, пространственная) кривая Г имеет в каждой своей точке линейную плотность массы Тогда масса кривой Г равна:

Точно такая же формула для полного заряда Q, расположенного на материальной (например, плоской) кривой Г, если известна линейная плотность зарядов

в каждой точке

2) Координаты центра масс. Пусть материальная (например, пространственная) кривая Г имеет в каждой своей точке линейную плотность массы Тогда центр масс имеет координаты:

где - масса этой кривой, и

Аналогично находятся координаты центра масс плоской линии.

3) Определение. Центроидом кривой Г (нематериальной, просто геометрической фигуры) называется центр масс этой кривой с любой постоянной полностью (например, равной единице). Например, если кривая Г расположена в плоскости XOY, то её центроид имеет координаты:

где и - длина кривой Г.

4) Первая формула Гульдина. Площадь поверхности, полученная вращением вокруг оси кривой, расположенной в плоскости оси вращения по одну сторону от неё, равна произведению длины этой кривой окружности, которую описывает при вращении центроид этой кривой, т.е.

где L - длина кривой, - расстояние от центроида кривой до оси вращения.

5) Момент инерции. Пусть материальная (например, пространственная) кривая Г имеет в каждой своей точке линейную плотность массы Тогда момент инерции кривой Г относительно некоторой оси s равен

где расстояние от точки до оси s. Например, если s есть ось OX, то

6) Ньютонов (гравитационный или электрический) потенциал материальной кривой Г в данной точке расположенной вне этой кривой Г, имеющей линейную плотность (массы или соответственно заряда)

где - расстояние от произвольной точки до точки , т.е.