![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Перехідні функції
Диференціальне рівняння є найзагальнішою формою описування елемента і не дає уяви про передавальні властивості елемента. Уяву про ці властивості дає функція Найбільш уявлення про динамічні властивості елемента дає його перехідна функція (характеристика). Перехідною функцією
Перехідна функція
Вільна складова
де Характеристичне рівняння, яке відповідає диференціальному рівнянню, являє собою, як відомо, алгебраїчне рівняння, степінь і коефіцієнти якого співпадають з порядком і коефіцієнтами лівої частини цього диференціального рівняння. Для диференціального рівняння, записаного у формі (2.1), характеристичне рівняння має вигляд
Структура характеристичного рівняння (2.24) співпадає з структурою лівої частини диференціального рівняння, записаного в символічній формі (2.3) і з структурою власного (характеристичного) оператора D(p) (2.4). Тому при записі характеристичного рівняння часто замість символу l, котрий означає невідому заміну алгебраїчного рівняння, використовують символ р. Але при цьому р означає вже не операцію диференціювання, а деяке комплексне число, яке є розв’язком (коренем) характеристичного рівняння. Для лінійних елементів і систем, крім принципу суперпозиції, справедливе ще одне загальне правило: реакція на неодиничну ступінчасту дію Імпульсною перехідною функцією Якщо вхідна дія являє собою неодиничний імпульс Імпульсна перехідна функція
і навпаки, перехідна функція рівна інтегралу від імпульсної перехідної
За допомогою імпульсної системи перехідної функції елемента можна визначити його реакцію на вхідну дію вільного виду. Зв’язок між зміною вхідної і вихідної величин в часі встановлюється інтегралом Дюамеля, або інтегралом згортки
Так як при
Перехідні характеристики Приклад 1. Знайдемо перехідну функцію
Перехідна функція має дві складові
Вимушена складова згідно з (5.9) в даному випадку рівна
Вільну складову будемо шукати у вигляді
Враховуючи початкову умову
Приклад 2. Визначимо за допомогою інтеграла Дюамеля реакцію елемента (2.29) на дію вигляду Імпульсна перехідна функція елемента згідно з (2.25)
Функцію
2.3 Передавальні функції Найбільш розповсюдженим методом описування і аналізу автоматичних систем є операційний. В основі методу лежить перетворення Лапласа
яке встановлює відповідність між функціями дійсної змінної t і функціями комплексної змінної р. Функцію часу Перетворення Лапласа виконується лише для таких функцій часу, котрі рівні нулю при В табл. 2.1 показані зображення простих функцій часу, які найчастіше використовуються в розрахунках автоматичних систем.
Таблиця 2.1 – Зображення простих функцій часу
Основні властивості перетворення Лапласа показані в таблиці 2.2. Кожну з цих властивостей використовують при аналізі автоматичних систем операційним методом. Найбільш важливими властивостями перетворення Лапласа є властивості, які формулюються, зазвичай, у вигляді правил: при нульових початкових умовах диференціювання оригіналу Широке розповсюдження операційного методу в теорії автоматичного керування обумовленого ще й тим, що з його допомогою визначають так звану передавальну функцію, яка є найкомпактнішою формою описання динамічних властивостей елементів і систем.
Таблиця 2.2 – Основні властивості перетворення Лапласа
Використаємо перетворення Лапласа до лінійного диференціального рівняння загального вигляду (2.1), припускаючи, що до подання зовнішньої дії система знаходилась в спокої, і що всі початкові умови рівні нулю. Використовуючи властивість лінійності і правило диференціювання (див. табл. 2.2) можна одержати алгебраїчне рівняння у вигляді:
де
Порівнюючи рівняння (2.37) з рівнянням у символічній формі (2.3), можна помітити повну аналогію їх структур. Різниця рівнянь лише в значенні символа р: в першому рівнянні він означає операцію диференціювання, в другому – комплексну змінну. Введемо тепер поняття передавальної функції. Передавальною функцією W(p) називають відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах
Для системи, яка описується рівнянням (2.1), передавальна функція рівна відношенню вхідного оператора
З виразу (2.39) видно, що передавальна функція не залежить від виду вхідної дії Розглянемо тепер основні властивості і особливості, якими володіють передавальні функції автоматичних систем і їх елементів. Передавальна функція встановлює зв’язок між вхідною і вихідною величиною як в динамічному, так і в статичному режимах. Передавальна функція дійсних елементів являє собою правильний раціональний дріб, в якому степінь полінома, що знаходиться в чисельнику, менший або дорівнює степеню полінома знаменника Передавальна функція є функцією комплексної змінної
де Таким чином, кожній конкретній передавальній функції з заданими коефіцієнтами відповідає визначеність сполучення нулів і полюсів. За розподіленням нулів і полюсів передавальної функції і комплексної площини з координатами a і b можна судити про властивості елемента або системи. Якщо поліноми
де Передавальна функція (2.40) має полюси в точці
або після перетворень
де Величину v називають порядком астатизму. Коефіцієнт k має розмірність
і з деякою умовою може бути названий передавальним коефіцієнтом. Умова полягає в тому, що поняття передавального коефіцієнта було введено як характеристика статичного режиму, а в елементах з Якщо
Передавальна функція елемента пов’язана з його імпульсною перехідною функцією перетворення Лапласа
У справедливості виразу (2.46) можна впевнитися, якщо врахувати, що функція
2.4 Частотні характеристики Частотні характеристики описують передавальні властивості елементів і систем в режимі встановлених гармонічних коливань, викликаних зовнішніми гармонічними діями. Знаючи частотну характеристику елемента, можна визначити його реакцію на гармонічну дію будь-якої частоти, а також на суму гармонічних дій різної частоти. Частотні характеристики широко використовуються в теорії і практиці автоматичного керування, так як реальні умови, що діють на автоматичні системи, можуть бути представлені як сума гармонічних сигналів. Позитивною властивістю частотних характеристик є те, що вони можуть бути безпосередньо визначені експериментальним шляхом. Розглянемо фізичну сутність і різновид частотних характеристик. Нехай на вхід лінійного елемента (рис. 2.3, а) в момент часу
Через деякий час, необхідний для протікання перехідного процесу (для зникнення вільної складової), елемент ввійде в режим встановлених вимушених коливань, а вихідна величина
де Повторюючи такий експеримент при фіксуючому
Так як амплітуда вихідного сигналу Залежність відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів від частоти називають амплітудною частотною характеристикою (скорочено АЧХ). Вона позначається
Амплітудна і частотна характеристики показують, як елемент пропускає сигнали різної частоти. Оцінку пропускання виробляють по відношенню амплітуд Амплітудна функція має розмірність, рівну відношенню розмірності вихідної величини до розмірності вхідної. В деяких випадках використовують безрозмірну функцію Амплітудну і фазову частотні характеристики можна об’єднати в одну загальну – амплітудно-фазову частотну характеристику (АФЧХ). Амплітудно-фазова частотна характеристика При зміні частоти від нуля до нескінченності вектор Амплітудно-фазова функція
або в алгебраїчній формі
Зв’язок між різними частотними функціями наступний:
Аналітичний вираз для амплітудно-фазової характеристики конкретного елемента можна одержати з його передавальної функції підстановкою
Оскільки амплітудно-фазова функція
а аргумент функції
Амплітудно-фазова характеристика встановлює зв’язок між вхідним і вихідним сигналами не тільки для випадку, коли вони є гармонічними функціями, але і тоді, коли мають довільний вигляд. Вона рівна відношенню зображення за Фур’є вихідної величини
В цьому випадку змінна w змінюється від -¥ до +¥, так як будь-який реальний сигнал може бути розкладений на суму тільки попарно спряжених векторів, що обертаються. Користуючись співвідношенням (2.56) та зворотним перетворенням Фур’є, можна встановити зв’язок між частотними і часовими характеристиками. Врахуємо, що при
Відповідно амплітудно-фазова функція є зображенням за Фур’є імпульсної перехідної функції
Так як при Якщо (2.58) використати для імпульсної перехідної функції, записаної в безвимірному часі
де Співвідношення (2.59) означає, що якщо розтягувати (стискати) графік функції При практичних розрахунках автоматичних систем вигідно використовувати частотні характеристики побудови в логарифмічній системі координат. Такі характеристики називають логарифмічними. Вони мають меншу кривизну і тому можуть бути приблизно замінені ламаними лініями, складеними з декількох прямолінійних відрізків. Причому ці відрізки в більшості випадків вдається побудувати без громіздких обчислень, за допомогою декількох простих правил. Крім того, в логарифмічній системі координат легко знаходити характеристики різних з’єднань елементів, так як множенню і діленню звичайних характеристик відповідають додавання і віднімання ординат логарифмічних характеристик. За одиницю довжини по осі частот логарифмічних характеристик приймають декаду. Декада – інтервал частот, розташований між самовільним значенням
ординати якої вимірюють в логарифмічних одиницях – белах або децибелах (скорочено дБ). Бел – одиниця вимірювання відношення потужностей двох сигналів. Якщо потужність одного сигналу більша (менша) потужності другого сигналу в 10 разів, то ці потужності відрізняються на При побудові фазової частотної характеристики логарифмічний масштаб використовують тільки для осі абсцис. На рис. 2.5 показані логарифмічна амплітудна характеристика (товста лінія) і відповідна їй наближена характеристика у вигляді прямолінійних відрізків (тонка лінія). Частоти, що відповідають точкам стику відрізків, називають сполучними і позначають Правила і приклади побудови наближених логарифмічних характеристик конкретних елементів будуть дані в главі 4. За видом частотних характеристик всі елементи і системи діляться на дві групи: мінімально-фазові і немінімально-фазові. Мінімально-фазовими є елементи (системи), в яких всі полюси і нулі передавальної функції Мінімально-фазові елементи володіють цінною для практичних розрахунків властивістю: їх частотна передавальна функція повністю визначається однією з трьох складових:
Приклад. Знайдемо аналітичний вираз для частотних характеристик елемента, передавальна функція якого має вигляд
Амплітудно-фазова функція елемента
Вираз для амплітудно-частотної характеристики знайдемо як відношення модулів
а для фазової – як різницю аргументів чисельника і знаменника
2.5 Статичні характеристики типових з’єднань елементів Алгоритмічна структура будь-якої автоматичної системи управління являє собою комбінацію трьох типових з’єднань елементів: послідовної, паралельної і обернено-паралельної дії. Кожне з’єднання може бути за простими правилами замінене одним елементом, статичні і динамічні властивості якого еквівалентні властивостям з’єднання. При послідовному з’єднанні (рис. 2.6, а) вихідна величина кожного попереднього елемента є вхідною для наступного (і тільки для нього одного). Якщо елементи лінійні і в статиці характеризуються передавальними коефіцієнтами
Викидаючи з (2.65) проміжні змінні
з якого випливає, що передавальний коефіцієнт еквівалентного елемента
Таким чином, загальний передавальний коефіцієнт послідовно з’єднаних елементів рівний добутку передавальних коефіцієнтів цих елементів. Розмірність загального передавального коефіцієнта рівна добутку розмірностей коефіцієнтів. Так як при послідовному з’єднанні вихід кожного попереднього елемента є входом наступного, то передавальні коефіцієнти всіх елементів повинні визначатися лінеаризацією статичних характеристик в точках, які відповідають одному і тому ж режиму. Паралельним з’єднанням називають таке з’єднання, при якому на вхід всіх елементів поступає одна і та ж дія, а їх вихідні величини (з відповідними знаками) підсумовуються (рис. 2.6, б). Згідно з цим визначенням
Підставляючи в (2.69) рівняння статики окремих елементів
одержимо
Звідси випливає, що еквівалентний передавальний коефіцієнт паралельно з’єднаних елементів рівний сумі передавальних коефіцієнтів елементів
Відзначимо, що підсумування сигналів Обернено-паралельним з’єднанням двох елементів (з’єднанням з оберненим зв’язком) називають таке з’єднання, при якому вихідний сигнал першого елемента поступає на вхід другого, а вихідний сигнал другого елемента з вхідним знаком підсумовується з загальним вхідним сигналом (рис. 2.6, в). Перший елемент, в якому напрям подачі сигналу співпадає з напрямом передачі загального сигналу, називають елементом прямого ланцюга. Другий елемент, в якому напрям передачі сигналу протилежний напряму передачі загального сигналу, називають елементом зворотного зв’язку. Залежно від знаку сигналу зворотного зв’язку розрізняють позитивні і негативні зворотні зв’язки. Якщо сигнал зворотного зв’язку Розглянемо статичні властивості з’єднання зі зворотним зв’язком. Нехай елементи прямого і зворотного зв’язків лінійні і характеризуються коефіцієнтами
зворотного зв’язку
і вузла підсумування
Підставляючи вираз (2.74) в (2.75), а потім вираз (2.75) в (2.73), одержимо рівняння статики всього з’єднання із зворотним зв’язком
Звідси еквівалентний передавальний коефіцієнт
де знак “+” відповідає негативному зворотному зв’язку, а знак “–“ – позитивному. З виразу (2.77) випливає, що негативний зворотний зв’язок зменшує еквівалентний коефіцієнт, а позитивний - збільшує. Якщо при позитивному зворотному зв’язку добуток коефіцієнтів З’єднання з негативним зворотним зв’язком володіє позитивною (доброю) властивістю: при достатньо великому добутку Справді, при
Ця властивість широко використовується при конструюванні високо стабільних приладів з елементів зі змінними коефіцієнтами. Оцінимо вплив нестабільності коефіцієнта Нехай без зворотного зв’язку деякому фіксованому значенню
В з’єднанні зі зворотним зв’язком така ж зміна коефіцієнта
Враховуючи умову вибору значення
Вираз (2.81) показує, що негативний зворотний зв’язок зменшує відхилення вихідної величини, яке виникає через нестабільність коефіцієнта прямого ланцюга, в Приведені викладки ілюструють стабілізуючі дії негативного зворотного зв’язку при параметричному збуренні – при зміні параметра охоплюючої ланки. В главі 6 буде показано, що негативний зворотний зв’язок стабілізує вихідну величину і при координатних збуреннях. Саме дякуючи цьому, негативний зворотний зв’язок лежить в основі всіх замкнутих систем керування. Розглянемо тепер методи одержання еквівалентних статичних характеристик з’єднань, які складаються з нелінійних елементів. В цьому випадку не можна використовувати формули (2.67), (2.72) і (2.77), еквівалентні характеристики доводиться визначати графічно. На рис. 2.7 показано, як можна послідовним переносом точок побудувати еквівалентну статичну характеристику послідовного з’єднання трьох елементів з нелінійними характеристиками (рис. 2.7, а). На рис. 2.8, б показано побудову еквівалентної характеристики паралельного з’єднання трьох нелінійних елементів (рис. 2.8, а). Вихідні сигнали першого і третього елементів підсумовуються, а вихідний сигнал другого – віднімається. Тепер розглянемо зустрічно-паралельне з’єднання (рис. 2.9, а). В першому квадранті на рис. 2.9, б побудована характеристика елемента прямого ланцюга Повторюючи цю процедуру для кількох значень вихідної величини, отримаємо характеристику з’єднання з негативним зворотним зв’язком (лінія 1). За допомогою аналогічних міркувань і побудови можна отримати еквівалентну характеристику для додаткового зворотного зв’язку (лінія 2).
|