Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Диагонали параллелограмма






Определение.

1, 2Вопрос Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

  1. четырехугольника имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

  1. четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

  1. в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

  1. в четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠ DAB = ∠ BCD, ∠ ABC = ∠ CDA

  1. в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

  1. сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ ABC + ∠ BCD = ∠ BCD + ∠ CDA = ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ DAB + ∠ DAB = 180°

  1. в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2

 

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.

Основные свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

  1. противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

  1. противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ ABC = ∠ CDA, ∠ BCD = ∠ DAB

  1. сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB = 360°

  1. сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ ABC + ∠ BCD = ∠ BCD + ∠ CDA = ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ DAB + ∠ DAB = 180°

  1. каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
  2. две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
  3. диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
AO = CO = d1
 
BO = DO = d2
 
  1. точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
  2. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

  1. биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
  2. биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

 

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

  1. формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a = √ d12 + d22 - 2d1d2·cosγ = √ d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
   
b = √ d12 + d22 + 2d1d2·cosγ = √ d12 + d22 - 2d1d2·cosδ
   
  1. формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
a = √ 2d12 + 2d22 - 4b2
 
b = √ 2d12 + 2d22 - 4a2
 
  1. формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
a = hb
sinα
b = ha
sinα
  1. формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
a = S
ha
b = S
hb

 

Диагонали параллелограмма


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал