Свойства биссектрис

1. Теорема (Свойство биссектрисы). Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (рис. 2):

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром, в центре вписанной в этот треугольник окружности.

3. Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

4. Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

5. Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

6. Теорема Штейнера-Лемуса. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник - равнобедренный.

Якоб Штейнер (1796 - 1863) - швейцарский математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков. Даниель Христиан Лудольф Лемус (1780 - 1863) - французский математик.

7. Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, причём даже при наличии трисектора.

8. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, противоположного основанию, является медианой и высотой.

9. Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.

Если задан треугольник со сторонами , и , то длина биссектрисы, проведенной к стороне , вычисляется по формуле:

Пример

Задание. В треугольнике проведена биссектриса . Найти периметр треугольника, если , и .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 3).

По теореме про свойство биссектрисы имеем:

А тогда периметр треугольника, как сумма всех сторон, равен:

Ответ.

Вопрос 16.