Приемы интегрирования

1. Замена переменных в неопределенном интеграле

Если

,

то тогда

. (4.1)

Пусть требуется вычислить интеграл

Выбирая в качестве новой переменной функцию , такую что подынтегральное выражение представляется в виде

Цель данного приема состоит к переходу более удобной для интегрирования функции .

Пример. . Вводя , получаем

2. Интегрирование по частям

Этот прием представляет сведение данного интеграла к интегралу с помощью формулы

(4.2)

Этот прием ведет к цели, если находится легче, чем .

Это правило хотя и имеет более ограниченную область применения по сравнению с заменой переменной, существует целый класс функций, который интегрируется именно с помощью этого метода. Сюда можно отнести:

где есть любое целое положительное число.

Применение формулы (4.2) предусматривает последовательное понижение степени до нулевой.

3. Интегрирование простых дробей

К простым дробям относятся

1) ; 2) ; 3) ; 4)

где - действительные числа, . Кроме того, трехчлен не имеет действительных корней, т.е.

Интегрирование (1) и (2) не представляет трудностей:

(4.3)

(4.4)

Для интегрирования дроби (3) применим метод замены переменной. Выделяя сначала из знаменателя полный квадрат

и прибегнув к подстановке

и обозначив

получаем

а сам интеграл

Возвращаясь обратно к переменной окончательно получаем:

(4.5)

Для случая (4) подстановка приводит

Первый интеграл вычисляется подстановкой , :

(4.6)

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы

(4.7)

где

Формула (4.7) позволяет вычислить искомый интеграл для любого натурального индекса .

Так как при

то по формуле (4.7) найдем

и т.д.

4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида

где и — многочлены степени и , не имеющие общих корней, т.е.

(4.8)

Дробь (4.8) называется правильной если ; неправильной в противном случае. Каждую неправильную дробь можно привести к правильной путем исключения целой части, интегрирование которой не представляет сложностей.

В курсе высшей алгебры доказывается важная теорема, о том, что любая правильная дробь (4.8) может быть представлена в виде конечного числа правильных дробей.

Если — корни уравнения , а — их соответствующие кратности, так что

то дробь (4.8) представляется в виде

(4.9)

где числители отдельных дробей определяются из системы линейных уравнений после приведения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с (метод неопределенных коэффициентов).

Если — простые корни уравнения , т.е. , то

Если некоторые корни уравнения мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби, соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида

.

и методом неопределенных коэффициентов найти неизвестные и

Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби приводится к интегралам вида

рассмотренных в предыдущем п.3.

5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Интегралы вида

(4.10)

где — рациональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой

(4.11)

где общий знаменатель дробей .

Интегралы вида

(4.12)

(интегралы от биномиальных дифференциалов), где — действительные числа, а — рациональные, выражаются в элементарных функциях только в следующих случаях:

а) когда — целое число; тогда этот интеграл имеет вид суммы интегралов (4.10);

б) когда — целое число; подстановкой; подстановкой этот интеграл преобразуется к виду (4.10)

(4.13)

в) когда — целое число; при помощи той же подстановки данный интеграл приводится к виду (4.10)

(4.14)

Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида

достигается с помощью, по крайней мере, одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера

а) при ;

б) при ;

в) при условии, что корни и уравнения действительны.

6. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида

(4.14)

могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки

(4.15)

При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные

; ; (4.16)

Если при этом подынтегральная функция удовлетворяет соотношению

(4.17)

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

(4.18)

где — нечетное число, а — четное, с соответствующей заменой

(4.19)

приводится к интегралу от рациональной функции.

Если эта функция удовлетворяет соотношению

(4.20)

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

(4.21)

где — четное число, а — нечетное, с соответствующей заменой

(4.22)

приводится к интегралу от рациональной функции.

Если эта функция удовлетворяет соотношению

(4.23)

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

(4.24)

где — четные числа, с соответствующей заменой

; ; (4.25)

приводится к интегралу от рациональной функции.

7. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции

Интегралы вида

(4.26)

могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки

(4.27)

При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные

; ; (4.22)