Частные производные. Геометрическая интерпретация частной производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Функция называется дифференцируемой по , если существует предел разностного отношения

(5.1)

этот предел называется частной производной функции (по ) в точке и обозначается или .

Таким образом, частная производная функции равна обыкновенной производной функции действительного переменного , которая получается из , если переменные для положить равными .

Для нахождения производной более высоких порядков, например порядка , применяется специальная формула (5.2). Эта формула получается в результате индукции при рассмотрении частных производных более низкого порядка.

(5.2).

Рассмотрим геометрический смысл частной производной на примере функции , которая дифференцируема по каждой из переменных в точке . По определению есть число, равное , где - угол между касательной к кривой пересечения плоскости П и графика функции и плоскостью (см. рисунок ____). Аналогично и с .