Нахождение условных экстремумов (метод неопределенных множителей Лагранжа).

Общая постановка задачи:

Найти все экстремумы и наибольшее, а также наименьшее значения функции , определенной в области , для точек , удовлетворяющих дополнительным условиям:

(5.12)

где - действительные функции, определенные в .

Необходимые условия существования условного экстремума.

Пусть функции непрерывно дифференцируемы в и ранг функциональной матрицы равен . Положим, что

(5.13)

(функция является функцией Лагранжа с множителями - произвольные действительные числа). Если в точке при дополнительных условиях (5.14) имеет экстремум, то справедливы соотношения:

а) (5.14)

б)

Таким образом, необходимым условием существования условного экстремума функции в точке при дополнительных условиях являются следующие уравнений с количеством переменных и :

(5.15)

Примеры

Задача №1: Найти частные производные для функции .

Решение: , , .

Задача №2: Найти , если .

Решение:

.

Задача №4:

Исследовать на экстремумы функцию .

Решение:

Координаты критической точки вследствие гладкости функции должны удовлетворять системе

или

Из системы уравнений получим пять критических точек:

Так как для любой области , то возможно дальнейшее исследование поведения функции в стационарных точках с помощью достаточного условия экстремума:

Отсюда получим, что в точке : . Так как этот является ни чем иным как отрицательно определенной квадратичной формой (5.11), то можно сделать вывод что в точке функция имеет строгий локальный максимум.

Рассмотрим точку : .

Для анализа запишем матрицу этой квадратичной формы и применим критерий Сильвестра.

Выпишем главные миноры:

Распределение знаков миноров показывает, что данная квадратичная форма знакопеременная, таким образом в точке функция не имеет экстремума, то есть - седловая точка функции .

Аналогичным образом определяется, что и точки также являются Седловыми точками функции .

Задача №5:

Исследовать на экстремумы функцию .

Решение:

Имеем, что следовательно ни одна точка вне оси не будет критической.

Пусть , тогда

Таким образом, все точки оси являются критическими точками функции , в которых не существует. Из определения получаем, что если , если же для любого . Итак, получается, что каждая точка на оси является критической точкой функции , и в каждой из них нарушены условия гладкости и эти точки, следовательно, являются седловыми точками функции .

Замечание: Из примера видно, что если в критической точке функция может не иметь даже хотя бы одной частной производной, и, следовательно, эта точка может быть равновероятно точкой локального минимума, локального максимума или седловой точкой.

Задача №6:

Исследовать на экстремумы функцию .

Решение:

Отсюда делаем вывод, что критическими точками функции будут и все другие . Из неравенства получаем, что . В каждой точке линии имеем, что , а также, если , то . Таким образом можно утверждать, что в каждой точке функция имеет нестрогий максимум, а в - нестрогий минимум. Найдем вторые частные производные функции .

Если , то квадратичная форма полуопределена, как и должно быть в точках нестрогого экстремума:

.

А для точки квадратичная форма - знакопеременная, следовательно, - седловая точка функции .

Задача №7:

Найти точки условного экстремума функции , если .

Решение:

В этом задании , матрица есть . Из условия следует, что все точки, удовлетворяющие данному условию, имеют ненулевые координаты, а значит и минор матрицы также отличен от нуля. Поэтому условие определяет на этом множестве функцию .

А теперь мы рассматриваем функцию , как функцию одного аргумента : . Из условия получаем, что откуда , подставляя, получим . В итоге для координат критической точки функции имеем систему уравнений:

Решая систему, получим, что возможными точками локального экстремума могут быть точки и .

Теперь рассмотрим в этих точках, из условия имеем . Тогда для имеем

,

откуда получим, что и точка является точкой локального условного минимума функции при условии , причем .

Точно также получим, что в точке , то есть эта точка является локальным условным максимумом функции при условии , причем .

Задача №8:

Найдем экстремальные значения функции на прямой .

Решение:

Запишем функцию Лагранжа

Координаты критических точек функции находятся из системы

отсюда получаем В точке (2, 1, -2) выражение , равное , есть знакопеременная квадратичная форма, следовательно, точка (2, 1, -2) не экстремальная точка функции , но эта точка может быть экстремальной точкой функции при условии связи. В самом деле, из условия связи имеем . Учитывая это соотношение, для получаем выражение , которое есть отрицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно, точка (2, 1) является точкой локального максимума функции при условии связи

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.

2. Интегрирование путём замены переменных.

3. Метод интегрирования по частям.

4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.

5. Рациональные дроби. Простейшие дроби 1-4 типов, схема интегрирования дробей 1-4 типов.

6. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейшие дробей.

7. Метод неопределённых коэффициентов. Схема интегрирования рациональной дроби.

8. Интегрирование тригонометрических выражений вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

9. Задача, приводящая к понятию определённого интеграла Римана.

10. Понятие определённого интеграла Римана, его геометрический смысл. Свойства определённого интеграла Римана.

11. Интеграл с переменным верхним пределом, его простейшие свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

12. Замена переменной в определённом интеграле. Вычисление определённого интеграла методом интегрирования по частям.

13. Приближённые формулы вычисления определённого интеграла: формулы прямоугольника, трапеции, параболы.

14. Вычисление площади фигуры.

15. Вычисление длины дуги кривой, объёма тела вращения.

16. Определение функции многих переменных (ФМП), функции двух переменных (Ф2П).

17. Частные приращения, полное приращение Ф2П. Частные производные Ф2П.

18. Полный дифференциал Ф2П.

19. Производная по направлению, градиент функции.

20. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

21. Определение экстремума Ф2П (локального экстремума). Необходимое условие экстремума Ф2П. Достаточное условие экстремума Ф2П.

22. Нахождение наибольшего, наименьшего значений Ф2П в замкнутой ограниченной области (глобальные экстремумы).

23. Формула Тейлора для ФМП.

24. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Обыкновенные дифференциальные уравнения: определение, частное и общее решения.

25. Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.

26. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.

27. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка (два метода решения).

28. Дифференциальные уравнения высших порядков, основные понятия.

29. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

30. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Свойства решений. Характеристическое уравнение.

31. Структура общего решения ЛОДУ-2 в различных случаях корней характеристического уравнения.

32. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, структура общего решения.

33. Подбор частного решения по виду правой части.

34. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа.

Литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. С.-Пт. “Лань”, 2006 год. 736 с.

3. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и практикум / под. ред. Кремера Н.Ш. Части 1, 2. М.: Высшее образование, 2005 год.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 - М.: Высш. шк., 1980.

5. Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Наука. 2003 год.

6. Ильин В.А. Куркина А.В. Высшая математика. М.: ТКВелби. 2005 год. 600 с.

7. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. – М.: Изд. МГУ, 2005.

8. Крамер Н.И., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити, 2000.

9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. Учебное пособие. СПб.: Питер, 2006. – 464 с.

10. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. — М.: ЮНИТИ, 2003.

11. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. С.-Пт.: “Лань”, 2005 год. 240 с.

12. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1, 2. М.: Наука, 1978.

14. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Кручковича Г.И. М.: Высшая школа, 1973. – 576 с.

15. Сборник задач по математике для втузов. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. /Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. М.: Наука, 1986. – 464 с.

16. Смирнов В.И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1977.

17. Шипачев В.С. Основы высшей математики. — М.: Высшая школа, 1989.