Й способ решения. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных x, y, z и Н – матрицу-столбец свободных членов:

А = , Х = , Н = .

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А · Х = Н. (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А ^–1. Умножив обе части уравнения (1) на А ^–1 слева, получим:

А ^–1 · А · Х = А ^–1 · Н.

Но А ^–1 · А = Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х = А ^–1 · Н. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А ^–1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

А = . Тогда А ^–1 = ,

где А_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (– 1) ^{i + j} на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i -й строки j -го столбца в определителе матрицы А, т.е. A_ij = (– 1) ^{i + j} · M_ij.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения А_ij элементов матрицы А.

∆ = = 10 ≠ 0, следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А ^–1.

А ₁₁ = (– 1)¹⁺¹ ∙ = 5, А ₂₁ = (– 1)²⁺¹ ∙ = 3,

А ₁₂ = (– 1)¹⁺² ∙ = – 5, А ₂₂ = (– 1)²⁺² ∙ = 1,

А ₁₃ = (– 1)¹⁺³ ∙ = – 5, А ₂₃ = (– 1)²⁺³ ∙ = – 1,

А ₃₁ = (– 1)³⁺¹ ∙ = – 1, А ₃₂ = (– 1)³⁺² ∙ = 3,

А ₃₃ = (– 1)³⁺³ ∙ = 7.

Тогда А ^–1 = = .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений
в матричной форме:

Х = А ^–1 · Н = · · =
= · = · = .

Отсюда x = 3, y = 0, z = – 2.