Задача 4. Даны координаты вершин А(0; 0; 1), В(2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3; 7; 2) пирамиды ABCD

Даны координаты вершин А (0; 0; 1), В (2; 3; 5), С (6; 2; 3), D (3; 7; 2) пирамиды ABCD. Требуется:

1) записать векторы в системе орт , , и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани ABC;

5) найти объем пирамиды ABCD;

6) составить уравнение ребра AC;

7) составить уравнение грани ABC.

1. Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , , по формуле

= a_x + a_y + a_z , (1)

где a_x, a_y, a_z – координаты вектора в системе координат, порожденной ортами, причем

a_x = np_Ox , a_y = np_Oy , a_z = np_Oz .

Если заданы точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁), M ₂(x ₂, y ₂, z ₂), то для вектора
= .

,

то есть

. (2)

Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек А, В, С, D получим:

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:

(3)

Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:

2. Известна формула cos = где · – скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

· = .

У нас

cos φ = cos =

то есть .

3. Известно, что

,

то есть в нашем случае

4. Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и :

,

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

.

В нашем примере , причем

Таким образом,

(кв.ед.).

5. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах , можно найти по формуле

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

.

У нас где

то есть (куб. ед.).

6. Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пространства и , имеет вид:

(4)

Подставив в (4) координаты точек A и C, получим

то есть уравнение ребра AC окончательно запишется следующим
образом:

или .

7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки можно записать в виде:

Подставляя в него координаты точек A, B, C, получим