Бірінші және екінші тамаша шектер.

Бірінші тамаша шек. Қ ұ рамында тригонометриялық функциялар бар ө рнектердің шектерін есептегенде бірінші тамаша шекті қ олданады: . Дә лелдеу: Радиусы бірге тең шең бер аламыз. , сонда:

, мұ ндағ ы

Шексіз аздарды салыстыру. Екі шексіз аз шамаларды салыстыру ү шін олардың қ атынасын қ арастырады. - ш.а.ш. болсын, яғ ни жә не .

1. Егер болса, онда ұ мтылғ анда ш.а.ш.-ның аздық реттері бірдей дейді.

2. Егер болса, онда ұ мтылғ анда шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады жә не ~ деп белгіленеді.

Мысал. шексіз аздар ұ мтылғ анда эквивалентті, бұ л бірінші тамаша шектің қ асиетінен шығ ады.

Теорема. ұ мтылғ анда ш.а. болсын, онда:

1. ; 2. ~ ;

3. ~ ; 4. ~ ;

5. ~ ; 6. ~ , ;

Теорема. Егер ш.а.ф. –ды оларғ а эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. қ атынасының шегі ө згермейді.

Функцияның ү зіліссіздігі. Функцияның нү ктедегі ү зіліссіздігі ұ ғ ымын беру ү шін 3 шартты келтіреміз:

1. функциясы нү ктесінде анық талғ ан (яғ ни мә ні бар);

2. ( шамасы -ге ұ мтылғ анда) болғ анда функциясының ақ ырлы шегі бар;

3. шегі функцияның нү ктесіндегі мә ніне тең:

1− анық тама. Егер функциясы келтірілген ү ш шартты қ анағ аттандырса, онда оны нү ктесінде ү зіліссіз дейді. Функцияның нү ктесіндегі ү зіліссіздігінің анық тамасының формуласын былай жазуғ а болады: Функция нү ктесінде ү зіліссіз болса, онда оның графигін нү ктесі арқ ылы ү зіліссіз сызуғ а (қ арындашты қ ағ аздан алмай) болады. Енді ү зіліссіздіктің екінші анық тамасын берейік. аргументіне ө сімшесін берсек, функциясы ө сімшесін алады. Ол формуласымен анық талады.

2− анық тама. Егер функциясы нү ктесінде анық талса жә не тең дігі орындалса, онда ол функцияны нү ктесінде ү зіліссіз дейді. Ү зіліссіздіктің осы екі анық тамасы ө зара эквивалентті. Егер функциясы нү ктесінде ү зіліссіз болмаса, онда бұ л нү кте функциясының ү зіліс нү ктесі деп аталады. Ү зіліс нү ктесінің екі тү рі бар. Егер функциясың нү ктесінде оң жақ ты жә не сол жақ ты шектері бар болып, бірақ олар ө зара тең болмаса, онда нү ктесі функциясының біріншітекті ү зіліс нү ктесі деп аталады. Егер оң жақ ты жә не сол жақ ты шектердің ең болмағ анда біреуі не шексіздікке тең болып, не жоқ болса, онда нү ктесі функциясының екіншітекті ү зіліс нү ктесі деп аталады. Егер нү ктесінде ақ ырлы оң жақ ты жә не сол жақ ты шектер бар болып, бірақ олар осы нү ктедегі функцияның мә ніне тең болмаса, онда нү ктесі функциясының тү зетілетін ү зіліс нү ктесі деп аталады.

5-мысал. функциясы ү шін нү ктесі екінші текті ү зіліс нү ктесі болады, себебі

Егер функциясы аралығ ының ә рбір нү ктесінде ү зіліссіз болса, онда оны аралығ ында ү зіліссіз дейді. Егер функциясы аралығ ында ү зіліссіз болып, ал нү ктесінде оң жақ тан (яғ ни ), ал нү ктесінде сол жақ тан (яғ ни ) ү зіліссіз болса, онда функциясын кесіндісінде ү зіліссіз дейді.