Методы Рунге-Кутты III,IV порядков

Дальнейшее улучшение точности решения ОДУ первого порядка возможно за счет увеличения точности приближенного вычисления интеграла в выражении.

Воспользовавшись формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подынтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [ x_i+1, x_i ]

тогда можно переписать так:

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции y_i+h/2и y_i+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений

(3.15)

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты третьего порядка - РК3 (погрешность порядка h3):

(3.15)

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка- РК4(погрешность порядка h4):

(3.16)

Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.

Построим рекуррентные формулы по формуле по алгоритму РК3:

	(3.10)
	(3.11)

начальные условия:

	(3.12)

условия трансверсальности:

	(3.13)

ограничение на управление:

	(3.14)

Гамильтониан Н:

, при	(3.15)

Условия стационарности по управлению и фазовым переменным строится аналогично методу Эйлера.

Для РК4 рекуррентные формулы строятся аналогично РК3, используя формулы (3.16).

3.3 Метод Адамса - Башфорта

Рассмотренные ранее методы (Эйлера, Рунге-Кутты) используют значение функции на одном предшествующем шаге, поэтому они относятся к так называемым одношаговым методам. Точность вычислений можно увеличить, если использовать при нахождении решения в некотором узле x_i информацию о значениях функции, полученных в нескольких (k) предыдущих узлах сетки интегрирования (x_i-1, x_i-2… x_i-k).

Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени , который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению. Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:

(3.17)

Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.

k
	3/2	-1/2
	23/12	-16/12	5/12
	55/24	-59/24	37/24	-9/24

Полученное таким образом семейство формул называется явной k -шаговой схемой Адамса (методы Адамса-Башфорта).

Так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x₁, x₂, …, x_k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутты 4–го порядка.