События и операции над ними

Для изучения физических явлений производят наблюдения (эксперименты, испытания). Их результаты называют событиями или исходами.

Если при проведении испытания, то есть осуществления определённой совокупности условий, событие обязательно происходит, то его называют достоверным; если же событие заведомо не произойдёт, то его называют невозможным; если же событие может произойти, а может и не произойти, то его называют случайным. Например, в эксперименте, состоящем в подбрасывании правильной шестигранной игральной кости (с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6), событие «на верхней грани выпало не более шести очков» является достоверным, событие «на верхней грани выпало менее одного очка» – невозможным, а событие «на верхней грани выпало четыре очка» – случайным.

Таким образом, события (исходы) подразделяют на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Для математического описания экспериментов (испытаний) со случайными исходами вводится понятие пространства элементарных событий (или исходов), соответствующего рассматриваемому эксперименту. Это множество взаимоисключающих исходов эксперимента, такое, что каждое событие, как возможный результат эксперимента, может быть однозначно описано с помощью элементов этого множества, называемых элементарными событиями (исходами). Например, в рассмотренном выше эксперименте, состоящем в бросании шестигранной игральной кости, за пространство элементарных событий принимается множество . Событие «на верхней грани выпало чётное число очков» однозначно описывается с помощью элементов 2, 4, 6 этого множества, то есть это событие происходит, если выпадет либо 2, либо 4, либо 6 очков.

Элементарные события, то есть элементы пространства , обозначаются буквой или символами Если является конечным или счётныммножеством, то мы имеем дело с дискретным пространством элементарных событий; если же является континуальным множеством, то у нас – непрерывное пространство элементарных событий.

Например, эксперимент, состоящий в однократном подбрасывании монеты, описывается двумя возможными исходами: = Г – «герб», = Р – «решётка», которые образуют двухэлементное пространство элементарных событий = {Г, Р}, а эксперимент, состоящий в бросании монеты до тех пор, пока впервые не выпадет герб, описывается всевозможными исходами = (РР…РГ), которых бесконечно много, и поэтому пространство элементарных событий счётно:

= {(Г), (РГ), (РРГ), …, (РР…РГ), …}.

Рассмотренные пространства являются дискретными.

Пусть эксперимент состоит в измерении энергии частиц. Исходом испытания является неотрицательное вещественное число. Таким образом, все возможные значения измеряемой энергии заполняют некоторый числовой отрезок . Множество точек этого отрезка

образует непрерывное пространство элементарных событий.

Итак, если множество – пространство элементарных событий, соответствующее некоторому эксперименту, то любое его собственное подмножество A можно отождествить с некоторым возможным событием (обозначим его также буквой A) в этом эксперименте. Например, в эксперименте с подбрасыванием монеты до первого выпадения герба множество

A = {(Г), (РГ), (РРГ)}

является событием, состоящим в том, что впервые герб выпадет по крайней мере при третьем бросании, а множество

B ={(РГ), (РРРГ)}

является событием, состоящим в том, что впервые герб выпадет либо при втором бросании, либо при четвёртом бросании.

Такое соглашение оправдывает ряд следующих понятий и определений.

Событием называется любое подмножество A множества – пространства элементарных исходов рассматриваемого эксперимента. Всё множество называется достоверным событием, а пустое множество – невозможным событием.

Суммой A + B двух событий A и B называется объединение этих множеств , являющееся событием, состоящим в том, что произошло событие A или событие B.

Произведением двух событий A и B называется пересечение этих множеств , являющееся событием, состоящим в том, что произошло и событие A, и событие B.

Разностью A – B двух событий A и B называется разность этих множеств , являющаяся событием, состоящим в осуществлении события A и неосуществлении события B.

Событие называется противоположным событию A, если оно состоит в ненаступлении события A, то есть равно множеству – абсолютному дополнению множества A. Ясно, что

Пусть событие A – появление туза при вынимании карты из колоды, событие B – появление карты бубновой масти. Суммой A + B событий A и B является их объединение – множество, содержащее все элементарные исходы – тузы и карты бубновой масти, то есть событие, состоящее в появлении туза любой масти либо в появлении карты бубновой масти (в том числе и бубнового туза). Произведением является пересечение – множество, содержащее один элементарный исход – появление бубнового туза. Разностью A – B является множество , содержащее все тузы, за исключением бубнового, то есть событие, состоящее в появлении туза небубновой масти. Событие равно множеству, состоящему из всех карт небубновой масти, то есть – появление любой карты небубновой масти.

События A и B называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании, то есть если их произведение – невозможное событие: . Например, при однократном бросании монеты события Г – появление герба и Р – появление решётки, являются несовместными.

События A и B называются совместными, если , то есть, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Если при наличии события A обязательно произойдёт событие B, то B называют следствием события A, или говорят, что A влечёт за собой B и пишут: или , так как A есть подмножество множества B.

Если и , то A и B называют равносильными событиями и пишут: A ~ B или A = B.

Совокупность событий пространства называется полной группой событий, если, во-первых, они попарно несовместны, и, во-вторых, их сумма есть достоверное событие: . Таким образом, в результате испытания появится одно и только одно из событий полной группы, и поэтому они называются единственно возможными событиями.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Пусть испытание состоит в бросании игральной кости, и пусть A – событие «выпало чётное число», B – событие «выпало нечётное число», C – событие «выпало число 4», то есть A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {4}. Тогда:

1) , так как ;

2) A и B противоположны, так как ;

3) A и B несовместны, так как ;

4) A и C совместны, так как ;

5) A и B образуют полную группу, так как ;

6) A и B равновозможные события, так как число чётных чисел равно числу нечётных и появление одного из них не является более возможным, чем других.