Непрерывные случайные величины. Функция распределения

Случайная величина называется непрерывной, если множество её возможных значений составляет целый интервал (конечный или бесконечный).

Непрерывными случайными величинами будут, например, ошибка измерения, координаты попадания снаряда, фактический размер изготовленной детали, рост наугад взятого человека и т.д.

Построение ряда распределения вероятностей возможно лишь для дискретных случайных величин, но не для непрерывных, так как множества их возможных значений несчётны. Поэтому желательно иметь общий способ задания закона распределения для любой случайной величины. Это можно сделать, если рассматривать, например, вероятности событий , являющихся функциями x. Эти функции называют функциями распределения.

Итак, функцией распределения (или интегральной функцией распределения) вероятностей случайной величины называют функцию

,

определяющую для каждого x вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее x.

Теорема. Функция распределения F(x) обладает следующими свойствами:

1⁰. для любого вещественного x.

2⁰. Если – интервал всех возможных значений случайной величины , то

В частности,

; . (3.1)

3⁰. Функция распределения является неубывающей функцией:

при .

4⁰. Функция распределения непрерывна слева:

.

5⁰. Для любого вещественного x

.

Доказательство.

1⁰. По определению при любом вещественном x

.

Но – вероятность события , а вероятность любого события заключена между нулём и единицей.

2⁰. Событие – невозможное событие, а событие – достоверное событие; поэтому при имеем: , а при имеем: . В частности, если , то имеем соотношения (3.1).

3⁰. При событие , где последние два события несовместны. Поэтому или , то есть

. (3.2)

Левая часть в равенстве (3.2) неотрицательна. Поэтому или .

4⁰. Пусть последовательность монотонно возрастая сходится к . Тогда соответствующая последовательность значений функции F (x) в силу первого и третьего свойств будет монотонно возрастая сходиться к . Но это имеет место для любой монотонно возрастающей, сходящейся к последовательности . Следовательно, .

5⁰. Согласно равенству (3.2)

. (3.3)

Предел в правой части (3.3) равен нулю, если x – точка непрерывности функции F (x). Если же x – точка разрыва функции F (x), то предел в правой части равенства (3.3) равен скачку этой функции в точке х:

. ■

Замечание 1. Равенство (3.2) означает, что вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна приращению функции распределения F (x) на этом интервале.

Замечание 2. В дальнейшем непрерывными будем называть только те случайные величины, которые имеют непрерывную функцию распределения. Для непрерывной случайной величины, таким образом, (в силу пятого свойства) вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю (хотя оно и является её возможным значением).

Замечание 3. Если a и b – точки непрерывности функции F (x), то в силу пятого свойства справедливы следующие равенства:

. (3.4)

Зная закон распределения дискретной случайной величины , можно найти её функцию распределения:

. (3.5)

Отсюда видно, что функция распределения дискретной величины является ступенчатой. В точке , она имеет скачок, равный .

Итак, с помощью функции распределения можно ввести единый способ задания законов распределения вероятностей как дискретных, так и непрерывных случайных величин. При этом вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала будет вычисляться по формуле

. (3.6)

Пример 1. Пусть дискретная случайная величина имеет следующую таблицу распределения вероятностей:

p	0, 3	0, 5	0, 2

Найти функцию распределения и построить её график.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.5), найдём функцию распределения этой случайной величины:

График этой функции имеет ступенчатый вид:

Пусть F (x) – функция распределения некоторой непрерывной случайной величины . Плотностью распределения (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называется неотрицательная, непрерывная всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек, функция p (x) такая, что при любом x

. (3.7)

Отсюда, в силу (3.6), имеем

. (3.8)

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1⁰. , ;

2⁰. ;

3⁰. в точках непрерывности p (x).

Замечание 4. Свойство 2⁰ называется условием нормировки плотности p (x).

Замечание 5. Понятие плотности распределения не распространяется на дискретную величину.

Произведение называется элементом вероятности непрерывной случайной величины , а графики функций p (x) и F (x) – соответственно кривой распределения и интегральной кривой распределения этой величины. По кривой распределения можно получить наглядное представление о законе распределения непрерывной случайной величины. Площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции выражается тем же интегралом (3.8), что и вероятность .

p (x)

x

Пример 2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Используя формулу (3.8), получим

.

Пример 3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти плотность распределения p (x).

Решение. Плотность распределения (в точках непрерывности этой производной; см. свойство 3⁰):

Замечание 6. При производная не существует, поэтому в точке плотность p (x) не определена; её можно доопределить, полагая .

Пример 4. Дана плотность распределения случайной величины :

Найти интегральную функцию распределения F (x).

Решение. Воспользуемся формулой (3.7). Если , то , следовательно,

.

Если , то

.

Если , то

.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Пример 5. Плотность распределения p (x) случайной величины задана на всей числовой оси равенством

Найти постоянный параметр c.

Решение. Воспользуемся свойством 2⁰ плотности распределения:

.

Для рассматриваемой функции это свойство выглядит так:

.

Отсюда

.

Вычислим несобственный интеграл

.

Таким образом, .

Рассмотрим несколько примеров законов распределения непрерывных случайных величин.

а) Равномерный закон распределения. Случайная величина называется равномерно распределённой в конечном интервале , если все её возможные значения сосредоточены на этом интервале и плотность распределения на этом интервале сохраняет постоянное значение:

Например, если поезда метрополитена идут с интервалом в 2 минуты и пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени, то время, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой случайную величину, распределённую равномерно на участке (0; 2).

Итак, если величина распределена равномерно в интервале с плотностью C, то в силу (3.8) при любых таких, что вероятность

. (3.9)

В частности, . Отсюда плотность . Подставив это значение C в (3.9), получим

, (3.10)

то есть вероятность попадания значения случайной величины в интервал равна отношению длин интервалов и . Однако (3.10) выражает также и площадь прямоугольника с основанием длины и высотой .

б) Показательный закон распределения. Случайная величина называется показательно распределённой с параметром , если все её возможные значения только положительны и плотность распределения вероятностей

(3.11)

Отсюда следует, что функция распределения этой случайной величины

.

Условие нормировки для плотности распределения (3.11) выполнено:

.

Кривая распределения данной случайной величины быстро убывает с ростом x.

в) Нормальный закон распределения. Случайная величина называется нормально распределённой с параметрами , если её плотность распределения

. (3.12)

Замечание 7. Множитель выбран так, чтобы выполнялось условие нормировки

,

так как

.

Нормально распределённая случайная величина с параметрами называется величиной, имеющей стандартное нормальное распределение. Её плотность распределения, таким образом, равна

, . (3.13)

Кривая стандартного нормального распределения симметрична относительно оси ординат (в силу чётности функции (3.13)); при имеет единственный максимум, равный , и имеет две точки перегиба при и ; при асимптотически весьма быстро приближается к оси абсцисс.

Вероятность того, что стандартно нормально распределённая случайная величина примет значение из интервала , вычисляется по формуле

, (3.14)

где – функция Лапласа.

Расчёт вероятностей в общем нормальном распределении (с параметрами ) производится по формуле

, (3.15)

где .

Положим ; тогда и формула (3.15) обретает вид

, (3.16)

так как . Формулу (3.16) можно записать ещё в виде

.

Отсюда, например, при получим (см. приложение 2)

. (3.17)

Соотношение (3.17) называют правилом трёх сигм.

Кривые нормального распределения при значениях имеют следующий вид:

Как видно из рисунка, с уменьшением параметра увеличивается вероятность попадания случайной величины в любую фиксированную окрестность точки . Таким образом, параметр характеризует рассеяние случайной величины , а параметр a является центром симметрии распределения (кривые распределения симметричны относительно прямой ). Поэтому параметр a называют центром распределения нормально распределённой случайной величины , а параметр – стандартным отклонением этой величины от её центра распределения a (или просто стандартом величины ).

Замечание 8. Соотношение (3.16) позволяет толковать функцию при как вероятность попадания в симметричный интервал значений случайной величины, распределённой нормально с параметрами . А правило трёх сигм трактуют следующим образом: для нормально распределённой случайной величины практически достоверно, что её отклонения от центра распределения окажутся меньше утроенного стандарта.

Пример 6. Деталь, изготовленная на станке, удовлетворяет стандарту, если отклонение от нормы не превосходит 0, 01 мм. Пусть – отклонение контролируемого размера от проектного – подчинена нормальному закону с параметрами . Найти: а) вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключённое в интервале (0, 02; 0, 1); б) вероятность того, что деталь будет стандартной.

Решение. а) Подставляя а = 0; = 0, 05; x ₁ = 0, 02; x ₂ = 0, 1 в формулу (3.5), получаем

,

откуда по таблице значений функции (см. приложение 2) имеем

.

б) Из соотношения (3.16), учитывая, что и , получаем

.

г) Гамма-распределение – это обобщение показательного распределения (см. пункт б). Случайная величина называется гамма-распределённой с параметрами , если плотность распределения ее вероятностей

(3.18)

Множитель C определяется из условия нормировки:

.

Так как

,

где

– гамма-функция Эйлера, то

.

Так что плотность распределения (3.18) равна

(3.19)

На приведенных ниже рисунках показан вид кривых распределения вероятностей при и .

При значениях параметра плотность распределения (3.19) имеет один максимум в точке , а при убывает в интервале . При из (3.19) получаем

так как

.

Таким образом, показательное распределение с параметром λ > 0 является гамма-распределением с параметрами .

Можно показать, что композиция, то есть сумма k независимых случайных величин (о независимости величин см. § 5) , имеющих гамма-распределения с параметрами и одинаковыми значениями параметра , будет вновь гамма-распределением с параметром и тем же значением параметра . В частности, гамма-распределение с и целым положительным будет композицией k показательных распределений с одинаковым значением параметра .

д) -распределение (распределение «Хи-квадрат»). Распределением с k степенями свободы называется распределение суммы k квадратов независимых случайных величин, следующих стандартному нормальному закону распределения, то есть распределение случайной величины

,

где имеют стандартное нормальное распределение.

Можно показать, что если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то её квадрат имеет гамма-распределение с параметрами . Отсюда и в силу отмеченного выше о композиции случайных величин, имеющих гамма-распредление следует, что - распределение с k степенями свободы есть гамма-распределение с параметрами и поэтому плотность этого распределения равна

(3.20)

Здесь

.

Задачи

51. Дискретная случайная величина задана следующей таблицей распределения вероятностей:

p	0, 1	0, 15	0, 2	0, 35	0, 2

Найти функцию распределения вероятностей величины .

52. Монета подбрасывается 3 раза. Для случайного числа появлений герба найти интегральную функцию распределения.

53. Случайная величина задана следующей функцией распределения вероятностей:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала (0, 5; 1, 5).

54. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти плотность распределения p (x) величины .

55. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти плотность вероятности p (x) величины и вероятность того, что она в результате испытания примет значение из интервала (–0, 5; 0).

56. Случайная величина имеет плотность распределения

Найти интегральную функцию F (x) величины и вероятность того, что примет значение из интервала .

57. Дана плотность распределения случайной величины :

Предварительно вычислив значение параметра с, найти функцию распределения величины .