Понятие функции случайных величин

Функцией случайного вектора называется случайная величина , которая принимает значение как только величина примет значение . При этом предполагается, что функция f определена для всех возможных значений аргументов .

В дальнейшем будем рассматривать случайные функции одного или двух случайных аргументов.

Замечание 1. Если для различных возможных значений дискретной величины значения функции также различны, то вероятность события равна вероятности события .

Рассмотрим два примера функции дискретных случайных величин.

Пример 1. Пусть случайная величина имеет ряд распределения:

p

Найти распределения вероятностей случайных функций .

Решение. Функции и в точках = 0, 1, 2 принимают различные значения: , поэтому, в силу вышесказанного, они имеют соответственно следующие таблицы распределения:

	–1
p

p

Функция принимает равные значения в точках = 0 и = 2, так что событие = 1 является суммой событий = 0 и = 2; по правилу сложения вероятностей получаем

.

Таблица распределения вероятностей для будет иметь вид:

p

Пример 2. Случайные величины и одинаково распределены и независимы:

p 1 = p 2

Найти распределение вероятностей случайной функции .

Решение. Так как и независимы, то

Функция может принимать значения 2, 3, 4, 5, 6, но некоторые значения она будет принимать при различных комбинациях значений и . Например, событие может произойти при = 1, = 3; или при = 2, = 2; или при = 3, = 1. Поэтому по правилу сложения вероятностей

.

Получаем следующую таблицу распределения вероятностей функции :

p

Замечание 2. Хотя распределения величин и в примере 2 одинаковы, однако распределение их суммы заметно отличается от распределения удвоенной величины (или ):

p

Установление законов распределения сумм одинаково распределённых случайных величин является одной из важнейших задач теории вероятностей.

Рассмотрим случайную функцию от двух непрерывных случайных величин и с плотностью совместного распределения . Пусть интервал является образом некоторой области D при отображении f, то есть D есть множество всех точек , которые отображаются посредством функции на интервал числовой прямой. Тогда вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле

. (6.1)

Для нахождения плотности распределения функции остаётся преобразовать интеграл (6.1) к виду

.

Ввиду сложности таких преобразований, в общем случае, мы ограничимся здесь суммой двух случайных величин, то есть будем искать закон распределения случайной функции (в предположении, что функция известна).

Случайное событие означает попадание случайной точки в полосу D между прямыми и .

Поэтому вероятность этого события равна

.

Отсюда видно, что есть непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей

. (6.2)

Если случайные величины и независимы, то есть случайная величина представляет собой сумму независимых случайных величин, то плотность их совместного распределения . Поэтому формула (6.2) принимает следующий вид:

. (6.3)

Закон распределения суммы независимых случайных величин и называется композицией их законов распределения; интеграл в правой части формулы (6.3) называется сверткой функций и и обозначается символом * .

Замечание 3. В приложениях теории вероятностей большую роль играют такие законы распределения, композиция которых сохраняет тип закона. Этим свойством обладает, например, нормальный закон, то есть случайная величина имеет нормальное распределение, если и распределены нормально.