Числовые характеристики случайных величин

Одной из характеристик случайной величины является её математическое ожидание, которое называют также средним значением случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

. (7.1)

Если дискретная случайная величина имеет счётное число возможных значений, то математическое ожидание этой величины

, (7.2)

в предположении, что ряд (7.2) сходится абсолютно и сумма всех вероятностей равна единице; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины не существует.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения в общем случае называется несобственный интеграл

, (7.3)

если он абсолютно сходится; в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания.

Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на конечном интервале , то для этой величины математическое ожидание

.

Основные свойства математического ожидания.

1⁰. Если C = const, то MC = C.

2⁰. , где C = const.

3⁰. , где – произвольные случайные величины.

4⁰. , если – независимые случайные величины.

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

	–4
p	0, 2	0, 3	0, 5

Решение. По определению математического ожидания дискретной случайной величины (см. (7.1)) получим

Характеристиками разброса возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этой величины, обозначаемые через и соответственно.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень из дисперсии этой величины

.

В силу данных определений имеем

(7.4)

для дискретной величины (если ряд в (7.4) сходится);

(7.5)

для непрерывной величины (если интеграл в (7.5) сходится).

Итак, в силу равенств (7.4) и (7.5), дисперсия

(7.6)

как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины. Это равенство является удобной формулой для вычисления дисперсии.

Основные свойства дисперсии:

1⁰. Для любой случайной величины имеем .

2⁰. DC = 0, где C = const.

3⁰. , где C = const.

4⁰. , где и – независимые случайные величины.

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения.

Решение. Случайную величину – число успехов в n испытаниях Бернулли – представим в виде суммы n одинаково распределённых независимых случайных величин:

, (7.7)

где

(7.8)

k = 1, …, n. Так что сумма (7.7) состоит из единиц и нулей, причём число единиц в ней равно числу успехов в n -кратном повторении испытания. Отсюда сразу следует, что

(7.9)

В силу (7.8) имеем

,

.

Отсюда и из (7.9) следует, что для биномиального распределения

.

Пример 3. Найти математическое ожидание и дисперсию нормального распределения с параметрами a, .

Решение. Пусть – нормально распределённая с параметрами a, случайная величина, то есть её плотность распределения задана формулой (3.12). Заменяя в (7.3) выражением (3.12), получим

.

Полагая , приведем к следующему виду:

. (7.10)

Так как функция нечётная, а функция есть плотность распределения (см. формулу (3.13)), то в правой части равенства (7.10) первое слагаемое равно 0, а второе a. Следовательно, для нормально распределённой величины математическое ожидание .

Вычислим дисперсию. По формулам (3.12) и (7.5) имеем

.

Отсюда, полагая , получим

.

Первое слагаемое в квадратных скобках равно 0, а второе равно 1. Следовательно, дисперсия .

Таким образом, в нормальном распределении параметр a есть центр распределения, а квадрат параметра есть дисперсия распределения.

Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию гамма-распределения с параметрами .

Решение. Пусть – гамма-распределённая случайная величина, то есть её плотность распределения

(7.11)

где , – гамма-функция Эйлера (см. § 3):

. (7.12)

Заменяя в (7.3) выражением (7.11), получим

.

Полагая , имеем . Так что

, (7.13)

так как

(7.14)

Точно также равенство применяется и при вычислении дисперсии :

,

следовательно,

. (7.15)

Из формул (7.13) и (7.15) следует, что параметры и гамма-распределения связаны с его центром и дисперсией соотношениями

или .

Отношение называется коэффициентом вариации случайной величины и обозначается . Таким образом, корень квадратный из параметра гамма-распределённой случайной величины есть величина, обратная к её коэффициенту вариации: .

Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию «хи-квадрат» распределения с k степенями свободы.

Решение. Как уже отмечалось в § 3, -распределение с числом свободы k есть гамма-распределение с параметрами . Следовательно, в силу формул (7.13) и (7.15)

.

Пример 6. Случайная величина задана плотностью распределения вида

Найти: а) коэффициент C и функцию распределения ; б)

Решение. а)Для нахождения коэффициента C используем свойство 2⁰ плотности распределения. Имеем

,

откуда C = 3.

Функцию распределения определяем согласно формуле (3.7), то есть

.

Имеем (см. § 3, пример 4)

б) На основе формулы (7.3), вида плотности распределения и найденного значения C имеем

.

Дисперсию определяем по формуле (7.5):

.

Среднее квадратическое отклонение определяем следующим образом:

.

Модой случайной величины (обозначается ) называется такое её возможное значение, которое имеет наибольшую вероятность (для дискретной случайной величины), или точка максимума плотности распределения её вероятностей (для непрерывной случайной величины).

Одна и та же случайная величина может иметь одну или несколько мод. Однако возможно, что случайная величина и вовсе не имеет моды (например, равномерно распределённая величина).

Медианой непрерывной случайной величины (обозначается ) называют то её возможное значение, которое определяется равенством

.

Таким образом, если – функция распределения непрерывной случайной величины , то .

Пример 7. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти: а) моду ; б) медиану .

Решение. а) Легко убедиться, что функция в открытом интервале не имеет максимума, поэтому моду не имеет.

б) Найдём медиану . Исходя из определения медианы и учитывая, что по условию возможные значения положительны, получим

.

Отсюда . Следовательно, искомая медиана .

Пример 8. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины .

Решение. Представим плотность распределения в виде

.

Отсюда видно, что при x = 3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, (разумеется, можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой x = 3, поэтому и .

Кроме понятий математического ожидания и дисперсии случайной величины используют понятия начального и центрального моментов порядка k.

Начальным моментом порядка k случайной величины называется математическое ожидание случайной величины :

В частности, .

Центральным моментом порядка k случайной величины называется математическое ожидание случайной величины :

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

(7.16)

Пример 9. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

p	0, 4	0, 6

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение. Найдём начальный момент первого порядка:

.

Напишем закон распределения величины :

p	0, 4	0, 6

Найдём начальный момент второго порядка:

.

Напишем закон распределения величины :

p	0, 4	0, 6

Найдём начальный момент третьего порядка:

.

Пример 10. Дискретная случайная величина задана своим распределением:

p	0, 1	0, 3	0, 6

Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: .

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами (7.16), выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдём начальные моменты:

;

;

.

Найдём центральные моменты:

Пусть кривая распределения случайной величины симметрична относительно прямой . Тогда плотность распределения центрированной величины будет чётной функцией и поэтому

В частности, это справедливо для равномерного и нормального распределений. Таким образом, если у непрерывной случайной величины (каким бы ни было), то её распределение асимметрично.

Обычно для характеристики асимметрии распределения вероятностей непрерывной случайной величины используют центральный момент третьего порядка , а чаще – безразмерный коэффициент асимметрии

. (7.17)

Знак коэффициента асимметрии (7.17) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию кривой распределения:

Для характеристики сглаженности кривой распределения случайной величины по отношению к кривой нормального распределения (см. § 3) применяют центральный момент четвертого порядка , а чаще – соответствующий безразмерный коэффициент

,

который называется эксцессом случайной величины . Например, для нормального распределения с параметрами центральный момент (см. пример 11), поэтому эксцесс E = 0.

Пример 11. Найти центральные моменты нормального распределения.

Решение. В силу симметрии распределения . Найдём . Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то есть ее параметры . Тогда случайная величина , где , имеет нормальное распределение с параметрами

.

По определению

.

Подстановка приводит последний интеграл к виду

.

Поэтому

. (7.18)

В силу установленного выше для гамма-функции равенства (7.14), при любом целом имеем

(7.19)

Так как

,

то выражение (7.19) равняется

,

где . Отсюда и из (7.18) получаем

.

В частности,

.

Пример 12. Найти коэффициент асимметрии биномиального распределения.

Решение. Как и в примере 2, случайную величину – число успехов в n испытаниях Бернулли – представим в виде суммы n одинаково распределённых независимых случайных величин:

,

где

.

Центральный момент третьего порядка для величины можно подсчитать непосредственно:

Для величины центральный момент третьего порядка равен

(7.20)

Для дальнейших выкладок нам понадобится теорема сложения центральных моментов третьего порядка:

Теорема. Центральный момент третьего порядка суммы независимых случайных величин равен сумме центральных моментов третьего порядка этих величин:

, (7.21)

где

.

Доказательство. Докажем (7.21) для случая двух независимых случайных величин: .

(7.22)

Так как величины и независимы, то независимы и величины , и величины . Поэтому

В силу этих равенств выражение (7.22) равняется

,

то есть .

Для произвольного числа независимых случайных величин доказательство проводится методом математической индукции. ■

Так как в рассматриваемом примере величины независимы, то в силу данной теоремы выражение (7.20) равняется

.

Таким образом, коэффициент асимметрии биномиального распределения равен

.

В частности, при коэффициент , а в общем случае при .

Пример 13. Найти коэффициент асимметрии гамма-распределения.

Решение. Найдём сначала начальный момент третьего порядка:

.

Теперь, воспользовавшись найденными в примере 4 моментами v ₁ = Mξ и v ₂ = Мξ ², подсчитаем центральный момент по формуле (7.16):

Наконец, учитывая равенство (7.15) для момента μ ₂ = D ξ, получаем искомый коэффициент

.

Замечание. В частности, при получаем коэффициент асимметрии для показательного распределения: . Отметим ещё, что для -распределения с k степенями свободы коэффициент асимметрии

.

Отсюда видно, что при .

Начальным моментом порядка k + l случайного вектора называется математическое ожидание случайной величины

.

В частности, .

Для дискретной двумерной случайной величины

,

где – вероятности значений (x_i, y_j) этой величины.

Для непрерывной двумерной случайной величины

,

где – плотность совместного распределения случайных величин и .

Центральным моментом порядка k + l случайного вектора называется математическое ожидание случайной величины :

.

В частности,

;

= 0;

.

Задачи

63. Случайная величина задана следующей таблицей распределения вероятностей:

p	0, 1	0, 4	0, 3	0, 2

Найти , , .

64. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной таблицей распределения вероятностей:

p	0, 1	0, 2		0, 2	0, 15	0, 1

До выполнения задания вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение x = 6.

65. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0, 05.

66. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0, 7, второго – 0, 8 и третьего – 0, 9. Найти математическое ожидание числа попаданий в цель.

67. Независимые случайные величины и заданы следующими таблицами распределения вероятностей:

p	0, 7	0, 3		p	0, 6	0, 4

Найти дисперсию случайной величины .

68. Случайная величина задана плотностью распределения в интервале (10; 12), вне этого интервала . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

69. Плотность распределения вероятностей случайной величины

Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (0, 5; 1).

70. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , распределённой равномерно на интервале (2; 8).

71. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание, моду и медиану величины .

72. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти: а) моду ; б) медиану .

73. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

p	0, 1	0, 4	0, 5

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

74. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

p	0, 2	0, 8

Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

75. Случайная величина задана плотностью распределения в интервале (0; 1), вне этого интервала . Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

ГЛАВА 3