Центральная предельная теорема

В силу равенств (3.3) .

Так что событие равносильно событию

.

Поэтому соотношение (3.4) можно записать в виде

. (4.1)

Если воспользоваться тем, что можно представить в виде суммы n независимых случайных величин

таких, что

,

и, следовательно, с математическим ожиданием и дисперсией , то, с учётом (4.1), интегральную теорему Муавра-Лапласа можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 1. Если случайные величины независимы, , то при ,

(4.2)

равномерно относительно , или, что то же,

(4.3)

равномерно по .

Утверждение (4.3) сохраняется при достаточно более общих предположениях о законе распределения слагаемых . Именно, имеет место следующая

Теорема 2. Если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то при равномерно по

, (4.4)

где .

Условия сходимости функций распределения сумм разнораспределённых слагаемых к нормальному закону содержатся в теореме ученика П.Л. Чебышева академика А.М. Ляпунова, доказанной им в 1900 г.

Теорема 3 (теорема Ляпунова). Если случайные величины независимы, имеют конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка , удовлетворяющие условию

, (4.5)

где , то при равномерно по

. (4.6)

Замечание 1. Полагая , соотношение (4.6) можно записать в виде

. (4.7)

При выполнении соотношения (4.7) говорят, что случайная величина при асимптотически нормальна (имеет асимптотически нормальное распределение) с параметрами , и записывают .

Замечание 2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем теоремы 2, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремы Ляпунова. Сущность этих теорем заключается в следующем: если случайная величина представляет собой сумму достаточно большого числа независимых случайных величин , влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет асимптотически нормальное распределение.

Теорема Ляпунова (также и теорема 2), ввиду особой важности как для теории, так и для приложений, носит название центральной предельной теоремы теории вероятностей. Она доказывается методом характеристических функций, разработанным А.М. Ляпуновым. Теория характеристических функций, как и доказательства центральной предельной теоремы, приводятся в более полных курсах теории вероятностей (см., например, Б.В. Гнеденко [5], гл. 7 и 8).

Пример 1. Пусть p – вероятность успеха в схеме Бернулли и – общее число успехов. Оценить близость частоты успеха и его вероятности p, то есть оценить вероятность события .

Решение. Если n достаточно велико, то можно воспользоваться следующей из (4.1) приближённой формулой

. (4.8)

Тогда

, (4.9)

где значение функции

находится по таблице приложения 2.

Пример 2. Вероятность рождения мальчика равна 0, 5. Какова вероятность того, что доля мальчиков среди 10 000 новорожденных будет отличаться от вероятности рождения мальчика не более, чем на 0, 01 в ту или другую сторону?

Решение. Большое число опытов (n = 10 000) дает основание для использования приближённого равенства (4.9). Поэтому

.

Пример 3. Регулировка прибора занимает время от 4 до 10 минут. Регулировщику предстоит отрегулировать 50 приборов. Оценить вероятность того, что регулировщик справится с работой за шесть часов, считая все значения времени регулировки в указанных пределах для каждого прибора равновозможными.

Решение. Пусть – время регулировки k -го прибора, , где n = 50. Так как минимальное время регулировки всех приборов равно минутам, а регулировщик должен справиться с работой за 6 часов (360 минут), то нам необходимо оценить вероятность события . По условию задачи величины одинаково распределены, независимы и ограничены, причем n = 50 – большое число. Поэтому к величине применима теорема 2, в силу которой (при больших n)

,

или, что то же,

. (4.10)

Так как событие

равносильно событию

,

то (4.10) запишется в виде

. (4.11)

В нашем случае . Откуда следует, что

(4.12)

Вычислим и . По условию задачи в пределах от 4 до 10 минут для каждого прибора все значения времени регулировки равновозможны. Это означает, что каждая величина на отрезке [4, 10] распределена равномерно и, следовательно, имеет плотность распределения

С учётом этого имеем

.

Подставляя в (4.12) значения a = 7 и , получим

,

.

Таким образом, в силу (4.11), имеем

.

ГЛАВА 4