Условные распределения вероятностей

При решении задач, связанных со статистической зависимостью величин, исходят из предположения, что система рассматриваемых величин обладает определённым совместным распределением вероятностей. Это дает возможность находить распределение вероятностей и средние характеристики одной из величин при условии, что задано значение другой. Такие распределения и их средние характеристики называются условными.

Так, если совместное распределение вероятностей дискретно и вероятность попадания случайной величины в точку обозначить через , то каждую вероятность можно представить по правилу умножения вероятностей в виде

,

где

.

Отсюда находим условные вероятности

, (2.1)

совокупность которых называется условным распределением вероятностей случайной величины при условии, что .

Аналогично совокупность условных вероятностей

(2.2)

называется условным распределением вероятностей случайной величины при условии, что .

Пример 1. Задана дискретная двумерная случайная величина :

	0, 15	0, 3	0, 35
	0, 05	0, 12	0, 03

Найти: а) условный закон распределения составляющей при условии, что составляющая приняла значение ; б) условный закон распределения при условии, что величина приняла значение .

Решение. а) Условные вероятности возможных значений при условии, что составляющая приняла значение , вычисляются по формуле (2.2):

,

,

.

Напишем искомый условный закон распределения :

	3/16	3/8	7/16

Контроль: 3/16 + 3/8 + 7/16 = 1.

б) Воспользовавшись формулой (2.1), аналогично найдём условный закон распределения при условии :

	0, 4	0, 8
	5/7	2/7

Контроль: 5/7 +2/7 = 1.

Если – непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то функция

, (2.3)

где (см. гл. 2, § 4), называется плотностью условного распределения вероятностей величины при условии, что . Аналогично функция

, (2.4)

где , называется плотностью условного распределения вероятностей величины при условии, что .

Отсюда видно, что аналогом правила умножения вероятностей служат равенства

.

Пример 2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

.

Найти условные плотности распределения составляющих.

Решение. Плотности распределения составляющих (см. пример 2, § 4, гл. 2) равны

, .

Найдём условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим

,

.

Задачи

84. Задана дискретная двумерная случайная величина :

	0, 25	0, 10
	0, 15	0, 05
	0, 32	0, 13

Найти: а) условный закон распределения при условии, что составляющая приняла значение ; б) условный закон распределения при условии, что составляющая приняла значение .

85. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

.

Найти условные плотности распределения составляющих.