О зависимости случайных величин

Две случайные величины могут быть либо независимыми, либо связанными функциональной или статистической зависимостью.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечёт изменение распределения вероятностей другой.

Центральный момент порядка 1+1 случайного вектора (см. гл. 2, § 7)

характеризует зависимость между величинами и . Действительно, используя свойства математического ожидания, получим

Итак,

. (1.1)

Из равенства (1.1) следует, что если случайные величины и независимы, то ; или, что то же, если , то и зависимые величины.

Момент называется корреляционным моментом или ковариацией случайных величин , и обозначается через .

Если , то и называются коррелированными случайными величинами; если , то и называются некоррелированными случайными величинами.

Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать заключение о независимости этих величин. Например, если распределение величины симметрично относительно точки x = 0, так, что , а величина , то ковариация и случайные величины и некоррелированы, хотя они связаны функциональной зависимостью: . Однако для нормально распределённых величин из некоррелированности вытекает их независимость.

При рассмотрении системы зависимых величин исходят из предположения, что она обладает определённым совместным распределением вероятностей. Для систем дискретных случайных величин закон распределения определяется последовательностью совместных вероятностей величин, входящих в систему, а для непрерывных – плотностью совместного распределения этих величин.

Пусть – дискретный случайный вектор с известными вероятностями . Тогда можно определить распределение вероятностей каждой из величин и по формулам (см. гл. 2, § 4)

, . (1.2)

Воспользовавшись (1.2), получаем следующие формулы для вычисления математических ожиданий и дисперсий этих величин:

(1.3)

Ковариация , определяется по формуле

. (1.4)

Если – непрерывный случайный вектор с известной плотностью совместного распределения , то с ней маргинальные плотности распределения и связаны соотношениями (см. гл. 2, § 4):

, . (1.5)

В силу равенств (1.5) имеют место следующие формулы:

(1.6)

Ковариация случайных величин и определяется по формуле

. (1.7)

В качестве количественной характеристики степени зависимости случайных величин и вводят ещё безразмерный коэффициент – коэффициент корреляции

, (1.8)

который обладает следующими свойствами:

1⁰. .

2⁰. Если и независимы, то .

3⁰. Если , где A и B постоянные, то .

Таким образом, можно сказать, что коэффициент корреляции является мерой силы линейной связи между величинами и . Чем ближе к единице, тем линейная связь между величинами сильнее; чем ближе к нулю, тем эта связь слабее. Другими словами, коэффициент корреляции показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена каждая из величин в виде линейной функции другой.

Пример 1. Закон распределения системы дискретных случайных величин задается формулами:

.

Найти математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции случайных величин и . Являются ли эти величины независимыми?

Решение. Составим таблицу распределения вероятностей случайного вектора , записывая построчно вероятности . Последняя строка и последний столбец заполняются в соответствии с формулами (1.2).

	–1
–1

Из таблицы видно, что величины и одинаково распределены. Поэтому

,

.

Отсюда по формуле (1.4) и, следовательно, .

Из таблицы видно, что . Следовательно, случайные величины и зависимы.

Пример 2. Пусть и величины, имеющие конечные моменты второго порядка. Доказать, что

(1.9)

тогда, и только тогда, когда эти величины не коррелированны.

Решение. Из определения дисперсии и свойств математического ожидания следует:

(1.10)

Пусть имеет место (1.9). Тогда из (1.10) следует, что , то есть и не коррелированны. Обратно, если и – некоррелированные величины, то . Тогда из равенства (1.10) следует (1.9).

Пример 3. Двумерная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Область D определяется неравенствами . Найти: 1) коэффициент a; 2) математические ожидания ; 3) дисперсии ; 4) коэффициент корреляции .

Решение. 1) Коэффициент a находим из уравнения (свойство 2⁰ плотности распределения ; см. гл. 2, § 4):

.

Отсюда

.

Итак, , то есть в области D.

Далее, воспользуемся формулами (1.1), (1.6), (1.7) и (1.8).

2) Находим математические ожидания:

Точно также и .

3) Находим дисперсии:

Точно так же и .

4) Определим корреляцию:

Отсюда .

Задачи

80. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин :

Найти: 1) коэффициент ; 2) математические ожидания ; 3) дисперсии ; 4) коэффициент корреляции .

81. Дана таблица, определяющая закон распределения двумерной случайной величины :

Найти: 1) математические ожидания ; 2) дисперсии ;

3) коэффициент корреляции .

82. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

Область D – треугольник, ограниченный прямыми . Найти: 1) коэффициент a; 2) математические ожидания ; 3) дисперсии ; 4) коэффициент корреляции .

83. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения

Найти: 1) коэффициент a; 2) математические ожидания ; 3) дисперсии ; 4) коэффициент корреляции .