Предельные теоремы в схеме Бернулли

Рассмотрим бесконечную последовательность серий из испытаний Бернулли, в которой n -я серия состоит из n испытаний с вероятностью успеха , зависящей только от номера серии. Пусть обозначает число успехов в n -й серии. Приведённые в параграфе 6 главы 1 асимптотические (приближённые) формулы Пуассона и Муавра-Лапласа являются результатами следующих трех предельных теорем.

Теорема 1 (теорема Пуассона). Если при так, что , то при любом постоянном т, ,

. (3.1)

Замечание 1. Соотношение (3.1) означает, что при больших n и малых р_п мы можем воспользоваться приближённой формулой (6.5) из главы 1.

Теорема 2 (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если и при этом вероятность успеха постоянна, то равномерно по всем m и n, для которых величина

находится в каком-либо конечном интервале , выполняется соотношение

. (3.2)

Теорема 3 (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если , постоянна, то равномерно относительно величин

, (3.3)

таких, что , выполняется соотношение

. (3.4)

Замечание 2. Соотношения (3.2) и (3.4) означают, что при достаточно большом числе испытаний имеют место приближённые равенства (6.6) и (6.7) из главы 1.

В силу сделанных замечаний, в качестве примеров применения сформулированных здесь предельных теорем, могут служить задачи, при решении которых используются приближённые формулы Пуассона и Муавра-Лапласа (6.5), (6.6) и (6.7) главы 1.

Доказательство теоремы 1 (см. также в § 2 главы 2). Положив , представим вероятность в виде

Отсюда при получим утверждение теоремы. ■

Доказательства теорем Муавра-Лапласа приводятся, например, в книге В.П. Чистякова [9] (см. гл. 3, § 3).