Условные математические ожидания. Регрессии, их основные свойства

Введем понятие условного математического ожидания. Пусть – дискретная двумерная случайная величина, рассмотренная в предыдущем параграфе. Число

, (3.1)

где – вероятности (2.2) – называется условным математическим ожиданием величины при условии, что . Аналогично число

, (3.2)

где – вероятности (2.1) – называется условным математическим ожиданием величины при условии, что .

Если – непрерывный случайный вектор, то условное математическое ожидание величины при условии, что , определяется формулой

, (3.3)

а условное математическое ожидание величины при условии, что – формулой

. (3.4)

(если при данных y и x интегралы абсолютно сходятся).

Величина (3.4) является функцией аргумента x: и называется функцией регрессии (или регрессией) величины на величину , а функция аргумента y, называется функцией регрессии (или регрессией) величины на величину

Уравнение называется уравнением регрессии на , а график функции называется линией регрессии и показывает, как в среднем изменяется величина при изменении величины . Аналогичные понятия вводятся при регрессии на .

Теорема. Если есть функция регрессии величины на величину , а – произвольная функция от случайной величины , то

.

Данное неравенство называется основным свойством регрессии величины на величину . Аналогичным свойством обладает регрессия на :

.

Имеют место следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) .

Пример 1. Пусть дискретная двумерная случайная величина имеет распределение:

	0, 15	0, 30	0, 35
	0, 05	0, 12	0, 03

Найти: а) условное математическое ожидание величины при условии, что величина приняла значение ; б) условное математическое ожидание величины при условии, что величина приняла значение .

Решение. а) В силу формулы (3.1)

, (3.5)

где вероятности , находятся по формуле (2.2):

,

,

.

Контроль: .

Отсюда, в силу (3.5), имеем

.

б) По формуле (3.2)

, (3.6)

где вероятности и вычисляются по формуле (2.1):

,

.

Контроль: .

Отсюда по формуле (3.6) получаем

.

Пример 2. Непрерывная двумерная случайная величина распределена равномерно в круге радиуса r с центром в точке . Найти условные математические ожидания составляющих и .

Решение. Плотность распределения случайного вектора

Отсюда (см. гл. 2, § 4)

,

.

В силу формул (2.3) и (2.4), имеем

,

.

Для вычисления условных математических ожиданий величин и воспользуемся формулами (3.3) и (3.4):

,

.

Задачи

86. Задана дискретная двумерная случайная величина :

	х 1 = 1	х 2 = 3	х 3 = 4	х 4 = 8
у 1 = 3	0, 15	0, 06	0, 25	0, 04
у 2 = 6	0, 30	0, 10	0, 03	0, 07

Найти условное математическое ожидание величины при условии, что величина приняла значение .

87. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины

Область D определяется неравенствами . Найти условные математические ожидания составляющих и .