О сходимости последовательностей случайных величин

В курсе математического анализа рассматриваются различные виды сходимости последовательностей функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду, сходимость в среднем квадратичном и т.п. По аналогии с этим и в теории вероятностей рассматриваются различные виды сходимости последовательностей случайных величин (как функций, заданных на пространстве элементарных событий). Приведём определения некоторых из них.

Пусть на пространстве элементарных событий задана последовательность случайных величин

(1.1)

и случайная величина .

1⁰. Если вероятность события равна единице:

,

то говорят, что последовательность случайных величин (1.1) сходится к случайной величине с вероятностью 1 (почти наверное).

2⁰. Если для любого

, (1.2)

то говорят, что последовательность случайных величин (1.1) сходится к случайной величине по вероятности; это записывают так:

.

3⁰. Если

,

то говорят, что последовательность величин (1.1) сходится к величине в среднем квадратичном.

4⁰. Если последовательность функций распределения

(1.3)

слабо сходится к функции распределения , то есть последовательность (1.3) такова, что выполняется соотношение

(1.4)

в каждой точке x, являющейся точкой непрерывности функции распределения , то говорят, что последовательность случайных величин (1.1) сходится к по распределению; при этом величины могут быть заданы на различных пространствах с различными вероятностями.

Понятие сходимости по вероятности, то есть соотношение (1.2), чаще всего используется в тех случаях, когда

(1.5)

где – случайные величины (не обязательно независимые или одинаково распределённые), а предельная случайная величина имеет вырожденное распределение, сосредоточенное в некоторой точке a: , или, что то же, функция распределения величины

(1.6)

В этом случае, то есть, если для любого выполняется соотношение

, (1.7)

говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел.

Замечание 1. В силу изложенного и определения 4⁰ можно говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел, если последовательность функций распределения (1.3) величин (1.5) слабо сходится к функции распределения (1.6) или, что то же, последовательность величин (1.5) сходится по распределению к случайной величине с тривиальной функцией распределения (1.6).

Замечание 2. Если выполняется соотношение

, (1.8)

то есть последовательность величин (1.5) сходится к числу a с вероятностью 1, то говорят, что последовательность удовлетворяет усиленному закону больших чисел.

Предложения, устанавливающие условия, при которых для сумм случайных величин (1.5) выполняются предельные соотношения типа (1.4) или (1.7) называются предельными теоремами теории вероятностей. Эти теоремы условно делятся на две группы. Одна группа составляет закон больших чисел (утверждает выполнимость соотношений типа (1.7)), то есть формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату a, почти не зависящему от случая. Вторая группа теорем (собственно называемые предельными теоремами) устанавливает условия, при которых суммы большого числа слагаемых имеют распределение, близкое к тому или иному известному распределению, то есть суммы типа (1.5) сходятся по распределению к величине с известной функцией распределения .