Многомерные случайные величины

Со случайным экспериментом может быть связано несколько случайных величин. Например, станок-автомат штампует стальные плитки. Контролируемыми размерами являются длина, ширина и высота. В подобных случаях принято говорить, что мы имеем дело с системой случайных величин или многомерной случайной величиной, или случайным вектором.

Пусть на пространстве элементарных событий определены случайные величины Их совокупность называется n-мерной случайной величиной или n-мерным случайным вектором.

Из соображений наглядности изложения рассмотрим только двумерные случайные величины , которые удобно интерпретировать как случайные точки или как случайный вектор в координатной плоскости .

Функцией распределения вероятностей случайного вектора или функцией совместного распределения случайных величин и называется функция , определяющая для каждой пары чисел x и y вероятность совместного выполнения неравенств и , то есть . Геометрически это означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины.

Функция распределения обладает рядом свойств. Приведем основные из них.

1⁰. .

2⁰. является неубывающей функцией по каждому аргументу.

3⁰. , если хотя бы один из аргументов стремится к .

4⁰. при и .

5⁰. при , при .

Через можно выразить вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми

:

. (4.1)

Функция распределения существует для совокупностей и непрерывных и дискретных случайных величин и .

Пусть – двумерная дискретная случайная величина. Законом распределения вероятностей величины называется перечень всех возможных её значений и их вероятностей . Таким образом, закон распределения дискретной двумерной случайной величины задаётся следующей таблицей распределения вероятностей:

	x 1	x 2	…	xn
y 1		)	…	)
y 2			…		(4.2)
…	…	…	…	…
ym			…

а функция распределения определяется равенством

.

События образуют полную группу событий (см. гл. 1, § 1). Поэтому, во-первых, сумма вероятностей всех этих событий равна единице, во-вторых, в силу их несовместности, зная вероятности , то есть закон распределения вероятностей случайного вектора , можно найти законы распределения его компонент и :

, (4.3)

. (4.4)

Итак, вероятность равна сумме всех вероятностей, расположенных в i -м столбце таблицы (4.2), а вероятность – сумме вероятностей, расположенных в j -й строке этой таблицы.

Пусть – двумерная непрерывная случайная величина, а – её функция распределения, которая всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную смешанную производную второго порядка.

Функция

(4.5)

называется плотностью распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины , а график её – поверхностью распределения вероятностей этой величины. Объём, заключённый между поверхностью распределения и координатной плоскостью, равен единице. Вероятность попадания случайной точки в некоторую область Q плоскости выражается в виде двойного интеграла:

.

Следовательно, эта вероятность равна объёму криволинейного цилиндра с основанием Q и ограниченного сверху поверхностью .

В силу равенства (4.5)

. (4.6)

Функция плотности распределения обладает следующими двумя свойствами:

1⁰. .

2⁰. .

Пользуясь соотношением (4.6) и свойством 5⁰ функции распределения, получим

,

отсюда, плотность распределения величины равна

. (4.7)

Аналогично получим плотность распределения случайной величины :

. (4.8)

Таким образом, равенства (4.3), (4.4), (4.7) и (4.8) показывают, что по известному закону совместного распределения случайных величин и можно определить распределения каждой из них. Плотности и по отношению к называют маргинальными.

Пример 1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины :

	0, 17	0, 13	0, 25
	0, 10	0, 30	0, 05

Найти законы распределения составляющих и .

Решение. Воспользуемся формулами (4.3) и (4.4) для получения вероятностей возможных значений величин и :

p (3) = 0, 27; p (10) = 0, 43; p (12) = 0, 30; p (4) = 0, 55; p (5) = 0, 45.

Напишем законы распределения вероятностей случайных величин и :

p	0, 27	0, 43	0, 30

Контроль: 0, 27 + 0, 43 + 0, 30 = 1.

p	0, 55	0, 45

Контроль: 0, 55 + 0, 45 = 1.

Пример 2. Задана плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины :

.

Найти плотности распределения составляющих и .

Решение. По формуле (4.7) найдём плотность распределения составляющей :

.

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата; тогда

.

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей :

.

Аналогично, воспользовавшись (4.8), найдём плотность распределения составляющей :

.

Пример 3. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины :

.

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих и .

Решение. а) Для нахождения множителя C используем свойство 2⁰ плотности распределения:

.

Имеем

откуда .

б) Найдём плотность распределения составляющей :

Аналогично найдём плотность распределения составляющей :

.

Пример 4. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 0, , , .

Решение. Воспользуемся формулой (4.1). Полагая в ней x ₁ = 0, , , , получим

.

Пример 5. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти плотность распределения этого вектора.

Решение. Воспользуемся формулой (4.5). Найдём частные производные:

.

Итак, искомая плотность распределения

Пример 6. Задана плотность распределения случайного вектора :

Найти функцию распределения этого вектора.

Решение. Воспользуемся формулой (4.6). Полагая в ней , где , получим

.

Итак, искомая функция распределения

Задачи

58. Задано распределение вероятностей двумерной дискретной случайной величины :

2, 3	0, 05	0, 12	0, 08	0, 04
2, 7	0, 09	0, 30	0, 11	0, 21

Найти законы распределения составляющих и .

59. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 3, y = 5.

60. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти плотность распределения этого вектора.

61. Задана плотность распределения случайного вектора :

.

Найти функцию распределения этого вектора.

62. Задана плотность распределения случайного вектора :

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих и .