Испытания Бернулли

Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода в каждом испытании не зависит от исходов предыдущих испытаний. Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых с постоянной вероятностью p может появиться интересующее нас событие A (следовательно, это событие не появляется с вероятностью q = 1 – p). Такие испытания называют испытаниями Бернулли, а их совокупность – последовательностью испытаний по схеме Бернулли. Появление события A в отдельном испытании назовём «успехом», а непоявление A – «неудачей».

Теорема Бернулли. Если – число успехов в n испытаниях Бернулли, то вероятность события равна

. (6.1)

Доказательство. Пусть У – успех, а Н – неудача. Тогда элементарные события в n испытаниях Бернулли естественно обозначать цепочками вида

. (6.2)

Так как испытания независимы, то вероятность события (6.2)

, (6.3)

где m – число успехов в последовательности (6.2).

Интересующее нас событие наступит, когда произойдёт одно из элементарных событий (6.2), содержащих ровно m успехов. Найдем их число. Так как число успехов и неудач задано, то можно только менять их расположение в цепочках вида (6.2). Расположение однозначно определяется выбором из n мест m мест для успехов. Это можно сделать способами. Таким образом, событие представляет собой сумму попарно несовместных событий (6.2). Поэтому в силу теоремы 2 параграфа 4 и равенства (6.3) имеем

. ■

Формулу (6.1) называют формулой Бернулли.

Пример 1. Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игральной кости два раза выпадет «3»?

Решение. Вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет три очка, равна (тогда ) и она не изменяется от бросания к бросанию. Поэтому можно считать, что мы имеем дело со схемой Бернулли и воспользоваться формулой (6.1), полагая в которой , находим искомую вероятность

.

Формула Бернулли может быть обобщена. Пусть в результате испытания может реализоваться одно из событий , образующих полную группу, причём известны вероятности

.

Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A ₁ произойдёт k ₁ раз, событие A ₂ произойдёт k ₂ раз и т.д. , равна

. (6.4)

Формулу (6.4) назовем обобщённой формулой Бернулли.

Пример 2. В крупной партии изделий 60 % изделий первого сорта, 30 % – второго, 10 % – третьего сорта. Какова вероятность того, что среди шести наугад взятых изделий 3 окажется первого сорта, 2 – второго и одно – третьего?

Решение. Будем считать, что производится 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность выбора изделия первого сорта равна , второго – , третьего – . В соответствии с формулой (6.4)

.

При большом числе испытаний вычисления по формуле Бернулли (6.1) трудоёмки. Поэтому для вычисления вероятностей были найдены простые приближённые (асимптотические при ) формулы, которые мы здесь рассмотрим.

При больших n и малых p обычно пользуются приближённой формулой Пуассона:

, . (6.5)

Замечание 1. Формула Пуассона связана не только с испытаниями Бернулли, но и с более широким кругом явлений. Она позволяет вычислять – вероятность появления событий на интервале времени длины в простейшем потоке событий:

где – среднее число событий, происходящих в единицу времени, и, следовательно, равно среднему числу событий на отрезке длины (см., например, В.Е. Гмурман [3], гл. 6, § 6).

Пример 3. Вероятность выпуска бракованной детали равна 0, 02. Детали упаковываются в коробки по 150 штук. Какова вероятность того, что в коробке: а) нет бракованных деталей; б) больше двух бракованных деталей?

Решение. Так как число n = 150 – велико, а вероятность p = 0, 02 – мала, то можно использовать формулу Пуассона (6.5). Имеем .

а) ;

б)

.

При больших n, но значениях p, не слишком близких к 0 или 1, часто используют приближённую формулу

, (6.6)

где

, .

Значения функции для приведены в таблице приложения 1. Так как , то эта таблица используется и при .

Формулу (6.6) будем называть локальной формулой Муавра-Лапласа. В ней значения m и n должны отличаться друг от друга не очень сильно; например, для локальная формула (6.6) даёт плохое приближение.

Замечание 2. Из вышеизложенного следует, что для вычисления вероятностей в испытаниях Бернулли подбор соответствующей формулы можно производить по следующей схеме:

В тех случаях, когда возможно использование (6.6), используется и следующая приближённая формула (интегральная формула Муавра-Лапласа):

, (6.7)

где

.

Функция называется функцией Лапласа. Значения этой функции при приведены в таблице приложения 2. Так как – нечётная функция, то есть , то эта таблица используется и при . При значение функции принимается приближённо равным 0, 5.

Пример 4. Вероятность появления события A в опыте равна 0, 33. Опыт повторим независимым образом 250 раз. Какова вероятность того, что при этом событие A произойдёт: а) 89 раз; б) не менее 70 и не более 90 раз?

Решение. а) Воспользуемся формулой (6.6). По условию задачи n = 250; p = 0, 33; q = 1 – p = 1 – 0, 33 = 0, 67; m = 89. Имеем

Из таблицы приложения 1 находим, что

Согласно формуле (6.6), получим

.

б) Используем интегральную формулу Муавра-Лапласа (6.7). По условию n = 250; p = 0, 33; q = 0, 67; m ₁ = 70; m ₂ = 90. Вычислим x ₁, x ₂:

,

.

Учитывая, что функция Лапласа нечётная, из (6.7) получим

По таблице приложения 2 определяем . Следовательно, искомая вероятность равна

.

Задачи

39. Вероятность выигрыша по одному билету денежно-вещевой лотереи равна 0, 2. Какова вероятность того, что из шести приобретённых билетов два билета окажутся выигрышными?

40. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0, 8. Какова вероятность того, что в течении пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

41. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0, 4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырёх или отказ трёх приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

42. Вероятность получения с конвейера изделий первого сорта равна 0, 9. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут первого сорта.

43. С базы в магазин отправлено 4 000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделия повредятся в пути, равна 0, 0005. Найдите вероятность того, что в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

44. Вероятность рождения мальчиков равна 0, 515. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Какова вероятность того, что среди них мальчиков окажется меньше, чем девочек?

45. Вероятность получения с конвейера изделий первого сорта равна 0, 9. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий от 520 до 535 изделий будут изделиями первого сорта.

ГЛАВА 2