Дискретные случайные величины

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Например, число появлений герба при трёх бросаниях монеты конечно (возможные значения 0, 1, 2, 3); число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов, конечно (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5); число бросаний кольца до первого попадания на стержень бесконечно (возможные значения 0, 1, 2, …).

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит все её возможные значения, а вторая – их вероятности:

			…		…
p			…		…

Здесь , так как события попарно несовместны и единственно возможны. Данная таблица называется таблицей (или рядом) распределения вероятностей случайной величины .

Рассмотрим несколько примеров законов распределения дискретных случайных величин.

а) Вырожденный закон распределения. Если случайная величина имеет распределение вероятностей, сосредоточенное в некоторой точке a: , то говорят, что имеет вырожденное распределение (сосредоточенное в точке a).

б) Гипергеометрический закон распределения. Пусть в условиях примера 2 (§ 3, гл. 1) случайной величиной является число бракованных изделий в выборке объёма S. Тогда, как было установлено, вероятность события определяется формулой (3.2) (§ 3, гл. 1). Говорят, что случайная величина имеет гипергеометрический закон распределения (с натуральными параметрами N, M, S, ), если вероятность события , где m может быть равным , вычисляется по формуле (3.2) главы 1:

.

Набор чисел называется гипергеометрическим распределением вероятностей.

в) Биномиальный закон распределения. В качестве дискретной случайной величины рассмотрим число успехов в n испытаниях Бернулли (см. гл. 1, §6). Вероятность события , где k может быть равным 0, 1, 2, …, n, будем вычислять по формуле Бернулли:

. (2.1)

Таким образом, мы получаем следующую таблицу распределения вероятностей дискретной случайной величины – числа успехов в n испытаниях Бернулли:

			…	k	…	n – 1	n	(2.2)
P			…		…

Этот закон распределения называют биномиальным законом распределения вероятностей в связи с тем, что вероятности (2.1) при k = 0, 1, 2, …, n совпадают с соответствующими членами разложения бинома :

.

Отсюда видно, что сумма всех вероятностей в таблице (2.2) равна единице, так как .

Пример 1. Монета брошена два раза. Найти закон распределения случайной величины – числа появлений герба.

Решение. Количество испытаний n = 2, вероятность появления герба в одном бросании , тогда вероятность появления решётки . При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения случайной величины : . Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

p

Контроль:

Как известно, практическое представление о вероятности случайного события даёт его относительная частота (см. гл. 1, § 3). Но сама относительная частота случайного события может рассматриваться как случайная величина, которая в разных сериях испытаний может принимать различные значения. Она только постоянным множителем отличается от случайной величины – числа появлений события A в n испытаниях Бернулли, а именно, относительная частота есть случайная величина . При этом очевидно, что события = k и равновероятны; поэтому таблица распределения вероятностей относительной частоты имеет вид

			…		…
P			…		…

То есть относительная частота события A в n испытаниях Бернулли есть дискретная случайная величина, имеющая биномиальный закон распределения.

г) Геометрический закон распределения. Пусть проводится серия из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании равной p и, следовательно, вероятностью неудачи равной .

Пусть случайная величина означает число испытаний до первого появления события A. Очевидно, что возможными значениями являются натуральные числа 1, 2, 3, …. Вероятность того, что в первых k – 1 испытаниях событие A не наступило, а в k -м испытании появилось, равна

,

где – непоявление события A в i -м испытании, – появление события A в k -м испытании. Итак,

, (2.3)

и ряд распределения вероятностей (2.3) имеет вид

				…	k	…	(2.4)
P	p			…		…

Во второй строке таблицы записана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом p, знаменателем q (0 < q < 1) и суммой, равной единице:

.

По этой причине распределение (2.4) называется геометрическим законом распределения вероятностей, а случайная величина с рядом распределения (2.4) – геометрически распределённой величиной.

Пример 2. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна 0, 8. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Найти закон распределения дискретной случайной величины – числа патронов, выданных стрелку.

Решение. Так как патроны выдаются до первого промаха, то за событие A примем промах, вероятность которого , а – вероятность попадания . Дискретная случайная величина имеет следующие возможные значения: . В силу формулы (2.3) вероятности этих возможных значений таковы:

; ;

;

Напишем искомый закон распределения:

				…	k	…
P	0, 2	0, 16	0, 128	…		…

Контроль:

.

Полученная таблица является примером геометрического закона распределения вероятностей.

д) Пуассоновский закон распределения. Пусть случайная величина принимает только целые неотрицательные значения с вероятностями

, , . (2.5)

Таким образом, имеем следующую таблицу распределения вероятностей:

				…	n	…	(2.6)
P				…		…

Этот закон распределения называют законом распределения Пуассона с параметром λ > 0.

Сумма всех вероятностей в таблице (2.6) равна единице, что может служить для контроля произведённых расчётов:

.

Замечание. Распределение Пуассона применяется в качестве приближения для биномиального распределения (при малых значениях p и больших значениях n), так как, полагая в (2.1) и перейдя к пределу при , получаем

Отсюда следует приближённая формула Пуассона (6.5), приведенная в предыдущей главе.

Задачи

46. Составить таблицу распределения вероятностей числа попаданий в мишень при трёх независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0, 2.

47. Монета подбрасывается 4 раза. Для случайного числа появления герба составить таблицу распределения вероятностей.

48. Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Наудачу берут три билета. Составить таблицу распределения вероятностей числа билетов первого ряда, оказавшихся в выборке.

49. Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа изделий, выдержавших испытание, если испытываются 600 деталей, а вероятность того, что изделие выдержит испытание, равна 0, 005.

50. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0, 5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведёт огонь по мишени до первого попадания или до полного израсходования всех патронов. Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов.