Теоремы сложения и умножения вероятностей

Приведём ряд теорем, позволяющих находить вероятности суммы и произведения событий. Доказательства будут проводиться для классической вероятности. Однако, в силу определений геометрической и статистической вероятностей, утверждения теорем распространяются и на эти вероятности.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В), (4.1)

где А · В = Æ.

Доказательство. Пусть – пространство равновозможных элементарных исходов испытания, события и несовместны. Тогда А · В = Æ и, следовательно, сумма событий

.

Поэтому

.

Приняв во внимание, что и , окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). ■

Теорема 2 (следствие теоремы 1). Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р (А ₁ + А ₂ + … + А_п) = Р (А ₁) + Р (А ₂) + … + Р (А_п), (4.2)

где А_i · A_j = Æ, i ≠ j.

Доказательство проведём методом математической индукции. Так как равенство (4.2) справедливо для n = 2, то, полагая

, (4.3)

где , покажем, что (4.2) справедливо для .

Действительно, рассматриваемые события попарно несовместны и, следовательно, несовместны события и . Отсюда по теореме 1 и равенству (4.3)

. ■

Теорема 3. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А · В), (4.4)

где А · В ≠ Æ.

Доказательство. Так как A и B совместны, то . События A · B, , попарно несовместны, поэтому в силу теоремы 2

. (4.5)

Но так как , то

.

Отсюда имеем

. (4.6)

Подставив (4.6) в (4.5), получим (4.4). ■

Замечание. Если A и B несовместные события, то .

В этом случае формула (4.4) обретает вид

.

Так что формулу (4.4) можно считать имеющей место как для совместных, так и для несовместных событий.

Теорема 4. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

Р (А ₁) + Р (А ₂) + … + Р (А_п) = 1. (4.7)

Доказательство. Так как сумма всех событий, образующих полную группу, есть достоверное событие , то

. (4.8)

С другой стороны, эти события попарно несовместны и, следовательно, в силу теоремы 2

. (4.9)

Из (4.8) и (4.9) следует (4.7). ■

Отсюда следует, что сумма вероятностей противоположных событий A и равна единице:

,

так как A и образуют полную группу событий.

Пример 1. В лотерее 1 000 билетов. из них на один билет падает выигрыш в 500 руб., на 10 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события: A – выиграть не менее 20 руб., – выиграть 20 руб., А ₂ – выиграть 100 руб., А ₃ – выиграть 500 руб. Очевидно, . Следовательно, получим

.

Условной вероятностью события B при условии A называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило. Обозначение: или .

Замечание. Вообще говоря, всякое событие наступает при осуществлении определённой совокупности условий S. Однако вероятность вычисляется при дополнительном условии A. Поэтому «обычные» вероятности P (A), P (B) и т.п. называются безусловными вероятностями.

Теорема 5. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

_. (4.10)

Доказательство. Пусть n – число всех элементов пространства , – число элементов множества A (число элементарных исходов, благоприятствующих событию A), – число элементов множества B, – число элементов множества (произведения событий A и B). Тогда

. (4.11)

Приняв во внимание, что , равенства (4.11) запишем в виде равенств (4.10). ■

Теорема 6 (следствие теоремы 5). Для произведения конечного числа событий имеет место равенство

, (4.12)

где , i = 2, 3, …, п – условная вероятность события при условии, что все события уже произошли.

Доказательство формулы (4.12) проводится методом математической индукции.

Пример 2. В ящике имеются 7 белых и 5 чёрных шаров. Сначала вынимают (не глядя) один шар и не опуская его обратно вынимают ещё один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара чёрные?

Решение. Появление первого чёрного шара (событие A) имеет, очевидно, вероятность . Если первый шар оказался чёрным, то условная вероятность события B – появление второго чёрного шара (при условии, что первый шар был чёрным) – равна , так как перед выниманием второго шара в ящике осталось 11 шаров, из них 4 чёрных. Вероятность вынуть два чёрных шара подряд можно посчитать следующим образом:

.

Два события A и B называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого, то есть

или .

Таким образом, вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Последнее равенство принимают в качестве определения независимых событий. Так что при его невыполнении события A и B называют зависимыми событиями.

Более двух событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Если, кроме того, каждое с каждым возможным произведением остальных также независимы, то события называют независимыми в совокупности или просто независимыми.

Из этих определений следует, что требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости. Имеет место следующая

Теорема 7 (следствие теоремы 6). Вероятность произведения событий , независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

.

Пример 3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0, 9. Найти вероятность того, что из двух проверяемых изделий только одно стандартно.

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что первое изделие стандартно, B – второе изделие стандартно, D – только одно изделие стандартно, то есть либо первое, либо второе. По условию задачи P (A) = 0, 9 и P (B) = 0, 9. Поскольку события A и B независимы, то

.

Пусть в результате испытания может появиться n независимых в совокупности событий соответственно с вероятностями , либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного).

Теорема 8. Вероятность события A, состоящего в наступлении хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, вычисляется по формуле

,

где – вероятность события .

Доказательство. Событие A и событие , состоящее в том, что ни одно из событий не наступило, противоположны, следовательно сумма их вероятностей равна единице:

. (4.13)

Так как независимы в совокупности, то противоположные им события также независимы в совокупности. Поэтому, в силу теоремы 7 из равенства (4.13) следует

,

так как . ■

Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе каждого из трёх орудий равны p ₁ = 0, 8; p ₂ = 0, 7; p ₃ = 0, 9. Найти вероятность того, что попали в цель хотя бы из одного орудия.

Решение. Пусть событие A – хотя бы одно попадание при залпе из трёх орудий, тогда

.

Задачи

20. Завод производит 85 % продукции первого сорта и 10 % – второго. Остальные изделия оказались браком. Какова вероятность, что, взяв наудачу изделие, мы получим брак?

21. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причем 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по истории и по английскому языку?

22. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

23. По условиям предыдущей задачи найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

24. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 чёрных, а во второй – 3 красных, 5 синих и 2 чёрных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, что оба карандаша окажутся красными?

25. Стрелок через равные промежутки времени ведёт огонь по равномерно движущейся на него цели. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0, 4 и увеличивается на 0, 1 при каждом последующем выстреле. Какова вероятность получить два попадания при трёх независимых выстрелах?

26. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем 5 книг стоят по 40 руб. каждая, 3 книги – по 20 руб. и 2 книги – по 10 руб. Найти вероятность того, что взятая наудачу книга стоит не дороже 20 рублей.

27. Контрольная работа состоит из трёх задач по алгебре и трёх по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0, 8, а по геометрии – 0, 6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов?

28. Вероятность поражения цели одной ракетой равна 0, 7, а другой – 0, 8. Какова вероятность того, что хотя бы одна из ракет поразит цель, если они выпущены независимо друг от друга?