Определение вероятности

Вероятность события A (обозначается P (A)) характеризует количественную меру возможности осуществления этого события в отдельном испытании при фиксированном комплексе условий. Приписывая каждому событию A вероятность P (A), мы тем самым утверждаем, что между этим событием и тем комплексом условий, при котором событие наблюдается, существует объективная взаимосвязь. Например, если , то эта взаимосвязь проявляется в следующем: несмотря на то, что результат каждого испытания является случайным и заранее предсказан быть не может, в большой серии испытаний примерно их часть приводит к появлению события A.

Классическое определение вероятности. Пусть – пространство равновозможных элементарных событий; , – некоторое событие. Элементы множества называются элементарными исходами, благоприятствующими событию A. Распространена следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события A (классической вероятностью) называется отношение числа исходов, благоприятствующих A, к общему числу исходов, то есть

. (3.1)

Пример 1. В лотерее 100 билетов, из них 10 являются выигрышными. Найти вероятность того, что 2 наудачу извлечённых билета окажутся выигрышными.

Решение. Слово «наудачу» означает, что все элементарные исходы испытания (извлечение любых двух билетов) равновозможны, и, следовательно, применима формула классической вероятности (3.1). Обозначим через A событие, состоящее в том, что оба извлечённых билета окажутся выигрышными. Число исходов, благоприятствующих событию A, находим по формуле (2.1):

Число всех возможных исходов находим следующим образом:

.

Поэтому, согласно формуле (3.1), искомая вероятность будет равна

.

Пример 2. В партии из N изделий имеется M бракованных. Наудачу отобраны S изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных S изделий окажется ровно m бракованных?

Решение. Здесь все элементарные исходы испытания равновозможны, и, следовательно, применима классическая вероятность. За элементарные события естественно принять любые подмножества по S элементов, выбранные из множества N изделий. Число всевозможных таких подмножеств (всевозможных элементарных исходов испытания) равно – числу сочетаний из N по S. Таким образом, в формуле (3.1) нужно положить .

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (обозначим его ): m бракованных изделий можно взять из M бракованных изделий способами, при этом остальные S – m изделий должны быть небракованными; взять же S – m небракованных изделий из N – M небракованных можно способами. Следовательно, число благоприятствующих событию элементарных исходов равно и по формуле (3.1)

. (3.2)

Замечание 1. Здесь и в дальнейшем предполагается, что при .

Замечание 2. Набор чисел называют гипергеометрическим распределением (см. гл. 2, § 2).

Пусть проверяется партия из N изделий, среди которых имеются бракованные, причём их число M неизвестно. Может оказаться, что сплошь все изделия проверить нельзя (их слишком много), или проверка приводит к уничтожению изделия (например, потребуется при проверке установить срок службы лампочки). Тогда для оценки неизвестного параметра M пользуются, так называемым, выборочным методом, то есть из всей партии изделий отбирают для проверки небольшую часть из S изделий. Если среди выбранных изделий оказалось m бракованных, то полагают , откуда . Полагая в формуле (3.2) , мы получим оценку вероятности последнего равенства, то есть получим вероятность того, что число равно числу бракованных изделий в партии из N изделий.

Рассмотрим ещё один пример, когда требуется оценить уже неизвестный параметр N. Пусть N – неизвестное число рыб в некотором водоёме. Можно провести отлов M рыб, пометить их и пустить обратно. По числу m помеченных рыб в повторном отлове из S рыб можно делать заключения о величине N: с вероятностью, равной (3.2), где N полагается равным числу .

Геометрическое определение вероятности. Классическое определениевероятности нельзя применить к испытанию с бесконечным числом исходов (даже равновозможных), что приводит к некоторому видоизменению определения вероятности. Однако при этом по-прежнему основную роль играет понятие «равновозможности» исходов.

Пусть является измеримой областью – отрезком определённой длины, либо плоской фигурой определённой площади, либо пространственной фигурой определённого объёма. Меру подобласти A () будем обозначать через m (A) (возможно это длина, либо площадь, либо объём). Пусть в область наудачу бросается точка. «Наудачу» означает, что попадание точки в любую часть A области есть случайное событие (обозначим его также через A), вероятность которого P (A) пропорциональна m (A) (мере A). Следовательно, P (A) можно определить как отношение меры подобласти A к мере всей области :

. (3.3)

Определённая таким образом вероятность (3.3) называется геометрической вероятностью.

Пример 3. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в прямоугольник со сторонами a и b точка попадёт в круг радиуса r, лежащий внутри прямоугольника.

Решение. Пусть событие A состоит в том, что наудачу брошенная точка попадёт в круг (обозначим его также через A). Площадь прямоугольника (обозначим его через ) равна , то есть ; площадь круга радиуса r равна , то есть . Согласно формуле (3.3), получим

.

Пример 4. Задача о встрече. Два лица X и Y условились встретиться в определённом месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждёт другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц X и Y, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти случайно (наудачу) и моменты прихода независимы.

Решение. Обозначим моменты прихода лица X через x и лица Y через y. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы абсолютная величина разности между ними не превышала 20 минут:

.

Пусть x и y изображают декартовы координаты на плоскости с единицей масштаба в одну минуту. Тогда всевозможными исходами будут являться точки квадрата со сторонами в 60 единиц, а исходами, благоприятствующими событию A (встрече лиц X и Y), – точки расположенные в заштрихованной области A.

Искомая вероятность P (A), согласно формуле (3.3), равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

.

Статистическое определение вероятности. В большинстве случаев, когда результат испытания невозможно представить в виде совокупности элементарных исходов или трудно указать основания, позволяющие считать эти исходы равновозможными, пользуются статистическим определением вероятности.

Будем в неизменных условиях производить сколь угодно большое число одинаковых испытаний, в каждом из которых интересующее нас событие A может произойти или не произойти. Пусть n – общее число произведённых испытаний, – число испытаний, в которых событие A произошло. Число называется относительной частотой события A. Замечено, что в различных сериях испытаний относительная частота случайного события A принимает близкие значения и эти значения колеблются около некоторого постоянного числа. Такое свойство относительных частот называется статистической устойчивостью и позволяет ввести следующее определение вероятности: число, около которого колеблются относительные частоты случайного события A, называется статистической вероятностью события A. В качестве её значения может быть приближённо при большом числе испытаний принята относительная частота события A или число, близкое к ней:

. (3.4)

Оказывается, что для тех случаев, к которым применимо классическое определение вероятности, колебание относительной частоты происходит около вероятности события p. Это еще раз подтверждает, что статистическая вероятность является объективной числовой характеристикой изучаемого случайного события A.

Пример 5. Приведём некоторые из полученных результатов в экспериментах с бросанием монеты.

Экспериментатор	n – число бросаний монеты	– число выпадений герба	– относительная частота выпадения герба
Ж. Бюффон… К. Пирсон… К. Пирсон…			0, 5080 0, 5016 0, 5005

Как видно, в каждой из трёх серий испытаний относительная частота выпадения герба незначительно отклоняется от его вероятности p = 0, 5.

Замечание 3. Статистическое определение вероятности носит скорее описательный характер, чем формально-математический. Однако при данном определении за вероятностью сохраняется её объективный, независящий от нас, смысл.

Замечание 4. Классическая и геометрическая вероятности обладают следующими свойствами:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность случайного события заключена между нулём и единицей.

Для статистической вероятности естественно требовать выполнения этих условий, так как она определяется через относительные частоты, обладающие следующими свойствами:

1) относительная частота достоверного события равна единице;

2) относительная частота невозможного события равна нулю;

3) относительная частота случайного события заключена между нулём и единицей.

Замечание 5. Имеется аксиоматическое определение вероятности, которое, как частные случаи, включает в себя рассмотренные выше определения (см., например, Б.В. Гнеденко [5], гл. 1, § 8).

Задачи

9. Шифр сейфа состоит из семи цифр. Чему равна вероятность того, что не знающий этот шифр с первого раза наберёт его верно?

10. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что ему достанется на экзамене известный ему вопрос?

11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик имеет одну окрашенную грань.

12. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5.

13. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что взятый наудачу билет окажется выигрышным.

14. Из 35 экзаменационных билетов, занумерованных с помощью целых чисел от 1 до 35, наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число кратное трём?

15. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

16. В коробке 15 одинаковых изделий, причём 10 из них окрашены. Наудачу из коробки извлечены 5 изделий. Какова вероятность того, что среди извлечённых изделий окажутся 3 окрашенных?

17. В квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка, брошенная в квадрат так, что любое её положение в квадрате – равновозможное – окажется внутри второго квадрата.

18. В прямоугольном броневом щите размерами 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размерами 10 на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадёт в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.

19. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма не превосходит единицы, а произведение xy не меньше 0, 09.