Линейная корреляция

Рассмотрим наиболее простой случай регрессии одной случайной величины на другую, когда обе функции регрессии и являются линейными функциями, то есть имеют вид . В этом случае обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии.

Если обе функции регрессии и линейны, то говорят, что случайные величины и линейно коррелированны.

Введём следующие обозначения:

и будем искать функцию линейной регрессии на в виде

,

где A и B – параметры, которые надо определить.

Подставим случайную функцию в формулу , приведённую в предыдущем параграфе. Получим

,

так как . Итак, B = b. Для того, чтобы найти параметр A, воспользуемся формулой б) предыдущего параграфа (см. с. 103):

.

Отсюда получим, что .

Таким образом, в случае линейной корреляции функция регрессии на имеет вид

. (4.1)

Аналогично находится функция регрессии на :

. (4.2)

Из формул (4.1) и (4.2) видно, что при функции и являются возрастающими. То есть при условные математические ожидания и возрастают при увеличении соответственно величин и .

Величины и называются коэффициентами регрессии соответственно на и на .

Так как коэффициент корреляции , то и, поэтому

,

.

Таким образом, уравнения прямых регрессии имеют вид:

(уравнение регрессии на ); (4.3)

(уравнение регрессии на ). (4.4)

Запишем эти уравнения в виде уравнений прямой с угловым коэффициентом .

(уравнение (4.3)), ;

(уравнение (4.4)), .

Таким образом, если – угол наклона прямой регрессии на , – угол наклона прямой регрессии на к оси , то

.

По свойству 1⁰ коэффициента корреляции (см. с. 94) . Следовательно, . Поэтому, и при следует, что .

При прямые регрессии пересекаются в точке (a, b). При прямые регрессии сливаются. При уравнения (4.3) и (4.4) имеют вид: y = b, x = a; то есть при имеем: – величины и не коррелированы.