Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дифференциальные теоремы о среднем (теоремы Ролля, Лагранжа).
|
|
Функция f принимает в точке x 0 наибольшее значение на множестве Х, если для всех x из множества Х выполняется неравенство f (x 0) і f (x). Аналогично определяется точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Т. Ферма. Если f определена в некоторой окрестности x 0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение, и ее производная в x 0 конечна или равна бесконечности определенного знака, тогда f ў(x 0)= 0.
Будем считать, что в точке x 0 функция f принимает наибольшее значение. Из выполнения неравенства f (x 0) і f (x) в окрестностях точки следует:
Поскольку производная в точке x 0 существует, то в этих неравенствах можно перейти к пределу. А при переходе к пределу, по определению производной, в левой части неравенств появится f ў(x 0), следовательно неравенства превратятся в: f ў(x 0) і 0 и f ў(x 0) Ј 0
Одновременно эти неравенства могут выполнятся лишь при равенстве производной нулю.
Другими словами можно сказать, что эта теорема утверждает, что в точке, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение, ее производная может либо быть равна нулю, либо ее не
Теорема Ролля. Если функция f: 1)непрерывна на отрезке [ a, b ]; 2)Имеет в каждой точке интервала (a, b) конечную или определенного знака бесконечную производную; 3)имеет одинаковые значения в концах отрезка, тогда существует хотя бы одна точка x 0 О (a, b), в которой производная функции равна 0.
Если рассматриваемая функция имеет одинаковые значения в концах отрезка, то она либо является константой; либо существует точка, в которой она принимает наибольшее или наименьшее значение. А по теореме Ферма, если выполняется условие 2), то производная в этой точке равна 0. Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы найдется хотя бы одна точка, в которой график функции параллелен оси x.
Теорема Лагранжа. Если функция f: 1)непрерывна на отрезке [ a b ]; 2) Имеет в каждой точке интервала (a, b) конечную или определенного знака бесконечную производную, тогда существует точка x 0 О (a, b), для которой верно равенство: f (b) – f (a) = f ў(x 0) (b – a)
Справедливость теоремы Лагранжа следует из того факта, что функция: 
удовлетворяет теореме Ролля, а значит в некоторой точке ее производная равна 0.
Геометрически Теорема Лагранжа утверждает, что у кривой найдется касательная, параллельная хорде, стягивающей эту кривую.
Теорема Коши о средних значениях. Если функции f и g: 1)непрерывны на отрезке [ a, b ]; 2)Дифференцируемы на интервале (a, b); 3)производная g нигде не обращается в нуль, тогда существует точка x 0, в которой: 
Для доказательства этой теоремы необходимо ввести функцию: 
Эта функция имеет в концах отрезка одинаковые значения и удовлетворяет условиям Т. Ролля. А значит найдется точка x 0, в которой ее производная равна нулю:
