Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функций. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству

().

Функция называется убывающей (невозрастающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству ().

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Из определения возрастающей функции следует, что если возрастает на , то на этом интервале приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции будут иметь одинаковый знак.

Действительно, если , то

⇒ ,

⇒ .

Если , то

⇒ ,

⇒ .

Аналогично показывается, что если убывает на , то на этом интервале приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции будут иметь разный знак.

Справедлива следующая теорема. Иначе говоря, функция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Иначе говоря, функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда

1) если функция возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна), т.е. ,

(, );

2) если производная на интервале положительна (отрицательна), т.е. , (, ),

то функция на возрастает (убывает).

Доказательство: 1) (Необходимость.) Пусть возрастает на . Требуется доказать, что , .

Так как возрастает на , то знак и соответствующего ему приращения совпадают.

⇒ , , (при условии, что ).

Но тогда .

Аналогично доказывается, что если убывает на , то , .

2) (Достаточность.) Пусть , . Требуется доказать, что возрастает на .Пусть , . Рассмотрим разность . По теореме Лагранжа, существует точка , такая, что .

⇒ .

Так как и получаем: , .

Следовательно, возрастает на интервале .

Аналогично доказывается, что если , , то убывает на .

12. Выпуклость функции, точки перегиба

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).