Общее уравнение линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.

Кривые второго порядка – это эллипс, окружность, гипербола и парабола.

Уравнение второго порядка относительно переменных и вида описывает кривые второго порядка.

Надо отметить, что в уравнении отсутствует слагаемое, содержащее произведение . Этот факт объясняется следующим образом. Рассматриваемое уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду, выполняя линейные преобразования. С геометрической точки зрения это выглядит как параллельный перенос системы координат. Если же работать с уравнением , то здесь надо сначала повернуть систему координат, а затем осуществить ее параллельный перенос. Предметом нашего исследования будут уравнения, не содержащие слагаемое с произведением , как более простые.

Заметим, что по виду уравнения можно сразу определить вид кривой второго порядка.

1) если коэффициенты А и В равны ( ), то уравнение может описывать окружность;

2) если коэффициенты и не равны ( ), но имеют одинаковые знаки, то уравнение может описывать эллипс;

3) если коэффициенты и не равны ( ) и имеют разные знаки, то уравнение может описывать гиперболу;

4) если один из коэффициентов или равен нулю ( или ), т. е. отсутствует слагаемое, содержащее квадрат переменной или , то такое уравнение может описывать параболу.

Кривые, заданные уравнением , имеют смещенные оси симметрии, а значит и центр симметрии или координаты вершин.