Основные теоремы о пределах последовательностей

Лемма 1. Алгебраическая сумма любого (но ограниченного) числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая.

Лемма 2. Произведение ограниченной переменной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

Теорема 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной,

т.е. если , то .

Теорема 2. Если последовательности и имеют пределы a и b,

то их сумма (или разность) также имеет предел, т.е.

если b, то .

Теорема 3. Если последовательности и имеют пределы a и b, то их произведение также имеет предел, т.е. если b,

то .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

,

Следствие 2.

Теорема 4. Если последовательности и имеют пределы a и b,

то их произведение также имеет предел, т.е. если b,

то .

Теорема 5. Если , причем и

k – некоторое натуральное число, то

Теорема 6. Если , то . Обратное утверждение неверно.

Если , то при вычислении несложных пределов от дроби, в числителе и знаменателе которой стоят по одному многочлену, можно пользоваться следующим правилом:

а) если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен 0;

пример: = 0

б) если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен ;

пример: =

в) старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя, тот предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

пример: =